第四章 逻辑公理系统
4.1 形式系统
4.2 命题逻辑公理系统
对于一个公理系统，它能够推理出的合式公式都是为定理的存在，但不是为命题存在，虽然我们后面学到的元定理中说，公理系统具有可靠性与完备性两种性质，但是这是对于定理而言，不是对于命题而言，一个命题不一定能被抽象为一个普遍适用的定理存在，比如我们知道的一个事件只存在发生与不发生两种形式，我们可以把这个作为一个定理来看，它是普遍适用而且正确的，但是我们不能把事件发生和事件不发生分别当作定理来看，因为这两个是一个抽象事件的特定条件下的真值状态而已，但是没有可规律概括的性质。或者说，真值任意不确定。是概率性事件。
公理系统本身是一种证明环境，可以理解为Windows系统与Linux系统，它们本身各自能执行一些程序指令。
在系统内，我们允许存在矛盾的公式，只是它不是公理系统能推导出的正确定理而已，就像Windows系统的电脑里可以存在病毒，但是系统本身是正常的，由系统本身运行得到的结果是正常的，病毒导致的结果可以不正常。
4.3 一阶谓词逻辑公理系统
4.4 一阶理论公理系统
一阶谓词逻辑中的定理公理由于可能存在自由变元，这里的自由变元需要理解为，自由变元满足任意取值时相应的定理和公理是一定的，是一个解释后不根据实际情况真假变化的固定理论，这也是为什么后面的谓词逻辑演绎定理要求，前件必须为闭公式才能够直接置前，因为不能够直接把一个解释为逻辑命题后语义不定的谓词合式公式作为一个固定可用的理论即前提（定理）来对待。可能你会说存在一些特定的谓词逻辑语句是对于所有变元代入都有固定真值的，比如”——不一定是正确或存在的“但是这也依赖于对于谓词的固定解释（不一定是正确或存在的），但是定理公理里要求的解释也需要任意。
注意记忆区分公理与定理的概念区别与联系，它们的包含关系。
4.4.1 等词公理
4.4.2 自然数理论及群理论
4.5 命题逻辑证明
经验之谈：
公理1最大的作用不是在一个项之前添项，而是替换一个蕴含式的前件的合式公式。这个过程会结合公理2和一定的证明过程。
4.6 一阶谓词逻辑证明
注意演绎定理对于谓词逻辑的要求比对于命题逻辑要求更高，因为谓词存在自由变元与约束变元之分，对于谓词逻辑，演绎定理要求，被置前的前件必须满足是闭公式，即没有自由变元。