第五章 角动量变化定理与角动量守恒
5-1 角动量与力矩
一、质点的角动量（动量矩）
定义：在惯性参考系中选一个固定的参考点O，运动质点对O点的位矢\(\vec r\)，动量为\(\vec p\)，则质点m对O点的角动量为：\(\vec L=\vec r \times \vec p=\vec r \times m \vec v\)
动量不变角动量不变，角动量不变动量不一定不变
二、力矩
- 定义：\(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\) 大小：\(rFsin\theta=Fd\) \(d\)为\(\vec F\)对O点的力臂 方向：右手螺旋法则
- 力矩的分量表示 \(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}\) 在直角坐标系中：略
三、质点的角动量变化定理
\(\vec{M}=\vec r\times \frac{d\vec{p}}{d{t}} = \frac{d(\vec{r}\times\vec{p})}{dt}-\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}=\frac{d(\vec{r}\times\vec{p})}{dt}=\frac{d\vec{L}}{dt}\)
质点所受的合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量——质点角动量变化定理
四、质点的角动量守恒定律
当质点所受合力矩为0则质点角动量不随时间改变
力矩为0当F为0或\(\vec F\)过参考点
5-2 质点组的角动量变化定理
一、质点组的角动量变化定理
-
一对内力的力矩之和为0 一对内力角冲量之和为0
-
质点组的角动量变化定理 对同一参考点，质点组角动量： \(\vec{L}=\sum_i \vec{L}_i\)
5-3 有心运动
一、质点在有心力场中的运动方程
1.有心力
方向始终指向或背离一个固定的中心的力
有心力场：有心力存在的空间
（中心对称）有心力：有心力只和参考点到力心的距离r有关，即\(\vec F=F(r)\vec {e_r}\)
这类有心力一定是保守力
2.运动方程
在有心力场中运动的质量为m的质点，其运动方程为
\(m\vec r(时间二阶导数)=F(r)\vec{e_r}\)
3.二维平面运动
由于质点所受的力始终指向或背向力心，当质点初始速度给定，初始位矢给定，则质点只能在由初始速度和位矢决定的平面上运动
二、角动量守恒和机械能守恒
有心力场中运动的质点的特点
角动量守恒：由于有心力对力心的力矩为0，所以质点对力心O角动量守恒
机械能守恒：无系统外力
例题：证明开普勒第二定律（行星与恒星之间的连线在相等时间内扫过的面积相等）
证明：行星对恒星的角动量大小为
\(L=|\vec r \times \vec p|=rmv\sin{\theta}\)
其中\(\theta\)是径矢与行星夹角的大小
若用\(r_+\)表示O到速度矢量的垂直距离
\(dS=\frac{1}{2}(r\sin{\theta})vdt\)
\(L=rmv\sin{\theta}=2m\frac{dS}{dt}\)其中\(\frac{dS}{dt}\)是掠面速度
又因为万有引力是有心力，对行星力矩始终为0，角动量守恒
\(dS=\frac{L}{m}\)
故开普勒第二定律成立
例题：自引力系统-在失去能量时动能反而增加，”负热容“系统，不稳定
人造地球卫星：阻力作用使卫星速度增加（角动量守恒）
超新星爆发：在恒星核燃料耗尽后，不但不冷下来，反而在急剧的引力坍缩过程中产生大量的光和热
例题：说明天体系统的旋转盘状结构
银河系的演化