第七章 定积分
有理积分的求解
有理积分有很多种
分式型有理函数积分的求解
真分式
由已知结论可知，任何有理真分式可以分解为分母为若干一次函数的次方分子为常数的分式与若干分母为二次函数的次方分子为一次函数的分式之和
对于普通一次函数为分母的分式，直接凑对数函数或幂函数的微分即可求解
对于二次函数为分母的分式，通过先凑微分将分子并入被积变量，分解为分子为分母导数的分式与分子为常数的分式
对于分子为分母导数的分式，通过凑微分法利用对数函数与幂函数的微分即可轻松求解
对于分子为常数的分式，看分母次数，如果为一次，将分母配方后利用因式分解或反三角函数的微分进行求积；如果为多次，配方后三角换元，利用三角函数分部积分的递推式进行求解
倒代换当分母次数明显高于分子时可以考虑使用倒代换
假分式
化为多项式和真分式进行求积
三角函数的分式
通解，通过万能公式把三角函数全部化为分式多项式，转化为有理分式进行求积
递归求解有些三角分式结构利用分部积分可以求得递归式，通过多次递归迭代可以求得函数积分
凑微分这个需要看技术
其他可化为有理式函数的积分
e，可以把e的指数进行换元
简单无理函数的积分
\(R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\)
这种一般令\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)进行代换求积，很多形式的根式可以通过提出一些因式转化为类似这种的形式再代换求解
\(R=(\sqrt[n]{x},\sqrt[m]{x})\)
令\(x=t^{mn}\)
\(R(x,\sqrt[n]{ax+b})\)
令\(t=\sqrt[n]{ax+b}\)
\(R=(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\)
通过配方法转化为以下形式再通过换元法求解
\(\int R(u,\sqrt{u^{2}\pm k^{2}})\) ,\(\int R(u,\sqrt{k^{2}-u^{2}})\)
定积分
定积分的概念
定积分的几何意义
-
当函数值在被积区间恒为非负数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积
-
当函数值在被积区间上为非正数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积的相反数
可积条件
可积的必要条件
定理7.2.1
若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必定有界
证明： (反证法)若\(f(x)\)在\([a,b]\)上无界,则对该区间的任意分割T,必存在某个小区间\(\Delta x_k\),使得\(f(x)\)在\(\Delta x_k\)上无界.在\(i\neq k\)的任意小区间\(\Delta x_i\)上任意取\(\xi_i\),记 \[ G=|\sum_{i \neq k}f(\xi_i) \Delta x_i| \] 对任意的\(M>0\),由\(f(x)\)在\(\Delta x_k\)上无界,则存在\(\xi_k \in \Delta x_k\),使得\(|f(\xi_k)|>\frac{M+G}{\Delta x_k}\). 于是有 \[ \begin{gather*} |\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|\geq |f(\xi_k)\Delta x_k|-|\sum_{i \neq k}f(\xi_i)\Delta x_i|\\ \frac{M+G}{\Delta x_k}\Delta x_k-G=M. \end{gather*} \] 这与存在一个细度足够小的分割使积分和的绝对值小于一个有限值矛盾. 所以函数有界是函数可积的必要条件
(直接法)已知函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积,则对\([a,b]\)的任意分割T,在各个小区间\(\Delta x_i\)上任意取\(\xi_i\),有 \[ lim_{||T|| \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i=A \] 所以对\(\forall \varepsilon>0\)存在\(\delta>0\),当\(||T||<\delta\)时,有 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i - A|<\varepsilon \] 根据绝对值不等式,不等式可化为 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i|<\varepsilon+|A| \] 取\(\varepsilon =1\)则存在一个分割\(T_0\)使得 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i|<|A|+1 \] 成立.由绝对值三角不等式有 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i| \geq |f(\xi_1)\Delta x_1|-|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i| \] 所以有 \[ \begin{gather*} |f(\xi_1)\Delta x_1|-|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|<|A|+1\\ \Rightarrow |f(\xi_1)\Delta x_1|<|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|+|A|+1 \end{gather*} \] 对于每一个在\(\Delta x_1\)内任意取的\(\xi_1\),都有在各区间\(\Delta x_i\)已经任意取定的\(\xi_i\)使得不等号右侧为一固定有限值,记为\(B\),则有 \[ |f(\xi_1)\Delta x_1|<B \] 也即函数\(f(x)\)在区间\(\Delta x_1\)上有界,同理可得,对于任一区间\(\Delta x_i\)函数\(f(x)\)在区间上有界,所以函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界
有界函数可积的充要条件
达布上和和达布下和在分割细度足够小时有相同的极限
有关达布和的相关结论
引理7.2.1
分割密度增加时达布上和不增，达布下和不减
定理7.2.2 可积准则
达布上和极限与达布下和极限相等
定积分的基本性质
线性性质
可加减可数乘，\(\int_{a}^{b} [\alpha f(x)+\beta g(x)] ,dx\) = \(\alpha \int_{a}^{b} f(x) ,dx+\beta \int_{a}^{b} g(x),dx\)
保序性保号性
- 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq 0\) ，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq 0\)
- 设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq g(x)\)，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq \int_{a}^{b} g(x) ,dx\)
估值不等式
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值M和最小值m，则\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) ,dx \leq M(b-a)\)
乘积可积性
若\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上也可积
绝对可积性
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上也可积，且\(|\int_{a}^{b} f(x) ,dx| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| ,dx\)
区间可加性
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则对任意的\(c \in [a,b]\) ，\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积；反过来，若\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积，则在\([a,b]\)上也可积。此时有等式\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx = \int_{a}^{c} f(x),dx+\int_{c}^{b}f(x),dx\)
Cauthy-Schwarz不等式
设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\([\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx]^2 \leq \int_{a}^{b}f^2(x),dx \int_{a}^{b}g^2(x),dx\) >证明: >记\(A=\int_{a}^{b}f^2(x)dx,B=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx,C=\int_{a}^{b}g^2(x)dx\) >由积分式 >\[ \int_{a}^{b}(tf(x)-g(x))^2dx=At^2-2Bt+C \] >由于该积分值恒非负,所以有\(B^2 \leq AC\),得证
可积函数类
连续可积
有限间断点有界可积
单调可积
积分中值定理
积分第一中值定理
若\(f(x),g(x)\)都在\([a,b]\)上连续，且\(g(x)\)在\([a,b]\)上不变号，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\) ，使得\(\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(\xi )\int_{a}^{b}g(x),dx\)
积分第二中值定理
积分第三中值定理
微积分基本定理
变上限积分函数
概念
上线为自变量的积分对应的函数
性质
函数可积，对应的变上限积分函数连续
函数连续，对应的变上限积分函数可导
即积分具有磨光性
函数连续，则对应的变上限积分函数为函数的一个原函数
牛顿莱布尼茨公式
构建了微分与积分的关系，使得微积分从此成为一门完整的学科，标志着微积分的诞生