第六章不定积分
不定积分的概念
我们定义了原函数的概念，即在某区间上的导数为对应函数的函数。
在原函数基础上我们定义了不定积分的概念，一个函数的不定积分是它在指定区间上的全体原函数，由于一个函数的积分形式不定，各原函数之间可以相差一个常数，所以称为不定积分
学习了一些基本的积分公式，也即基本初等函数的积分公式
学习了不定积分的线性性质，帮助我们更好更方便地进行积分运算，解决一些较为复杂但是依旧基础的积分计算
换元积分法和分部积分法
换元积分法
顾名思义，即通过换元简化积分的求解
第一类换元
通过对被积函数的观察，对需要的部分进行换元处理，来简化积分运算
第二类换元
通过对积分变量进行换元处理，来简化计算，本质上与第一类换元相通，但是形式上有所差异而已
倒换法
求分式积分时，当分式的次数比分子的次数高很多时，考虑将积分变量还原为原积分变量的倒数进行求解运算
三角换元
用于根式底数次数为二次的积分，可以化掉根式，简化积分运算
lnx、expx的换元
这两个函数由于其求导具有良好的性质，也可以用来简化运算
整体根式换元
需根据具体情况考虑换元的合理性
分部积分法
来源
函数乘积的求导法则，因为有些情况下一个函数原函数与另一个函数导函数的乘积积分不好求，通过函数乘积的求导法则转化为另一个函数的原函数与另一个函数的导数乘积的积分的求解，某些情况下可以简化积分运算
基本套路
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当幂函数与指数函数相乘时，由于指数函数导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为初始原函数进行分部积分
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当幂函数与三角函数相乘时，由于三角函数的偶数次导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为原始原函数进行分布积分来降次
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当指数函数与三角函数相乘时，通常把三角函数作为原函数，利用其求导的循环周期性质，构造循环方程式，用解方程的方式求解相应不定积分
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当三角函数与某些函数相乘时，利用三角函数求导的循环性，构造递归式求解
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当反三角函数与其他函数相乘时，由于反三角函数的原函数非常难求，考虑把反三角函数作为初始原函数进行求解
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求高次三角函数时，通常把高次三角函数分离出一次作为初始导数进行分部积分
选择原函数的方法:LIATE选择法
- L对数函数
- I反三角函数
- A代数函数
- T三角函数
- E指数函数
对应字母在前的优先选择为原函数