第十六周学习心得

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本周结束学习了淑芬中的第九章，继续学习了有关广义积分的相关知识，探究了非负函数广义积分收敛性判断的有关定理方法，以及对一般函数广义积分收敛的判定方法。 在结束第九章后，学习了微分方程，了解了微分方程的定义概念，学会判断微分方程类型，微分方程的阶数，微分方程的组成，微分方程解的求解方法和解的规律性结构，由于微分方程求解非常复杂，在目前阶段我们尝试求解的微分方程是微分方程中的简单可解的极少一部分，不过解微分方程的过程中涉及的新的求解思想是我们需要了解并熟知的

非负函数无穷积分的收敛性判别

无穷积分的本质其实可以说是一个变上限或变下限积分函数的极限值，由于一般函数的变限积分性质不够良好，不好做初始研究，我们首先选择非负函数的变限积分函数进行研究，利用其非负的特性，也即变限积分函数单调的特性来方便对非负函数无穷积分的收敛性做判断

定理9.2.1

设\(f(x)\)是区间\([a,+\infty)\)上的非负函数，且对任意的\(A>a\)，积分\(\int_{a}^{A}f(x),dx\)存在。则无穷积分\(\int_{a}^{A}f(x),dx\)在\([a,+\infty)\)有界。

这里为了叙述方便，默认函数在积分区间有定义。

定理9.2.2 无穷积分的比较判别法

设存在\(X>a\)，对于任意的\(x>X\)，都有\(0\leq f(x)\leq g(x)\)，则

  1. 当\(\int_{a}^{\infty}g(x),dx\)收敛时，必有\(\int_{a}^{\infty}f(x),dx\)收敛
  2. 当\(\int_{a}^{\infty}f(x),dx\)发散时，必有\(\int_{a}^{\infty}g(x),dx\)发散

类比可得在其他区间上的无穷积分的比较判别法

应用此定理关键在于找到合适的比较函数，例如\(\frac{1}{x^p}\)和\(\frac{1}{xln^{p}x}\)是常用的比较函数，其收敛相关参数值要熟知

定理9.2.3 极限形式的比较判别法

设\(f(x),g(x)\)是\([a,+\infty)\)上的非负函数，且有\(\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)，则

  1. 若\(0<l<+\infty\)，则\(\int_{a}^{+\infty} g(x) ,dx\)与\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)同敛散
  2. 若\(l=0\)，则当\(\int_{a}^{+\infty} g(x) ,dx\)收敛时，必有\(\int_{a}^{+\infty} f(x) ,dx\)收敛
  3. 若\(l=+\infty\)，则当\(\int_{a}^{+\infty} g(x),dx\)发散时，必有\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)发散

对于到\(-\infty\)的区间只需把\(x \rightarrow +\infty\)改成\(x \rightarrow -\infty\)即可

因为我们只需考虑极限处两函数的等价关系，所以在判断收敛性时可以使用等价无穷小代换为常见比较函数简化判断

一般函数无穷积分的收敛性判别法

无穷积分收敛的充分必要条件

定理9.3.1 Cauthy收敛原理

设函数\(f(x)\)在\([a,+\infty)\)上有定义，对于任意\(A>a\)，函数\(f(x)\)在\([a,A]\)上可积，则无穷积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛的充分必要条件是：任意给\(\epsilon >0\)，存在\(M>0\)使得对于任意的\(A_2>A_1>M\)都有\(|\int_{A_1}^{A^2} f(x),dx < \epsilon\).

无穷积分的绝对收敛

定理9.3.2

如果\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)收敛，则\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛

定义9.3.1

如果广义积分\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)收敛，则称广义积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)绝对收敛，如果广义积分\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)发散，而积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛，则称广义积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)条件收敛

函数乘积积分的收敛判别法

定理9.3.3

设对于任意的\(A>a,g(x) \in R([a,A])\)，且\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上有界，若\(\int_{a}^{+\infty}f(x),dx\)绝对收敛，则无穷积分\(\int_{a}^{+\infty}|f(x)g(x)|,dx\)绝对收敛，且有 \[ \int_{a}^{+\infty}|f(x)g(x)|,dx \leq M\int_{a}^{+\infty}|f(x)|,dx \] 其中\(|g(x)| \leq M(a\leq x<+\infty)\)

定理9.3.4 Dirichlet判别法

如果在区间\([a,+\infty)\)上定义的函数\(f(x),g(x)\)满足下列条件：

  1. \(F(A)=\int_{a}^{A}f(x),dx\)在\([a,+\infty)\)上有界；
  2. 函数\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调且\(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\) ， 则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x),dx\)收敛

定理9.3.5 Abel判别法

如果在区间\([a,+\infty)\)上定义的函数\(f(x),g(x)\)，满足下列条件：

  1. 无穷积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛
  2. 函数\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调有界 则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x),dx\)收敛

微分方程