嗯。。。这是我学淑芬的笔记，觉得还算完整，就放上来叭
北航的工科数学分析考试比较基础，2023级有点意外，考试题目与往年情况差异比较大，很多人因此翻车了，所以学习工科数学分析时本人还是认为：不要一味面向往年题复习。
可能你说我马上考试了来不及了，可以，但是还是建议，下一次考试，提前复习做好充分准备上战场，时间需要挤出来的。
本人数分成绩不是非常好，所以或许建议有失片面，你能摸索出属于自己的路的。
大一上学期 工科数学分析1 期中88分（摆烂了一学期，长教训了） 期末97~99分（因为我们只能看到总评，推测是这个分数段，本人是看错了一个次数导致计算结果错了ww） 总评95分 大一下学期 工科数学分析2 期中92分 （错了一个非常基础的一致收敛证明题www呜，一道证明题没证完） 期末97~98分 总评96分
大一上学期跟着syq老师学习，课堂强度还是不算特别特别——能跟上，另外作业比较乱比较多，上学期一个积分200题写了半个月才写完，当时对着常用积分表一个一个积分，有的积分可能得写上两面A5纸，不过我认为是——值得的，起码大一下学期积分没有一点问题了，可能有些水完作业的下学期还是得苦练积分，到底是不会亏的，对自己狠点。
老师还要求每周两道题，然后是每题纸面写3遍脑子过一遍，大一上学得非常认真，把书上半面一面证明过程的定理全拿来当题目做了，后期期末烤漆基本没复习，顺利过了，还是很不错的。大一下就水了点，不过本来大一下就有些简单粗暴单一，全是积分计算，这些题不写也毫无影响。
还有知识整理和学习心得的作业，前期是写一些灵感性的东西搭配思维导图（在淑芬上还是花了过多时间），后期就就是笔记加思维导图。
这些作业、笔记、心得被整理在了这个网站，可以供学习的同学看看，希望能有点帮助。思维导图会放在博客里提供下载使用。
另外受限于mdbook中只能使用的Mathjex数学公式格式与Markdown Latex语法有较大差别，可能无法很好地展现出来，未来会想办法的。
数学是很抽象的，但是是很美哒。
本周我们继续学习了4.6即导数在函数性质上的应用，在这一章里通过函数的导数，我们定义了函数的单调性、函数的凹凸性、函数的极值
函数的单调性的判定方法很多，书中给出了很多定理用来判定函数的单调性，不同的定理使用的条件限制程度不一样，适用范围广泛的定理往往难以使用，适用范围局限的定理往往能更便捷地用于判定函数单调性，所以，给出多种不同适用程度地=的判定方法的意义就在于我们可以根据实际情况选择好用且可以使用的定理来有效判定函数单调性
函数的极值是一种局部概念，它的定义只要求领域内函数值与函数领域内的极值的大小关系，而不需要函数的导数一定存在或函数满足某种单调性，但是用导数的正负大小也可以局限地判定函数地极值，这样可以方便函数极值的判定，即使会损失适用范围，尤其需要注意的是，极值两侧函数导数的正负并不意味着函数在领域内具有单调性
函数的凹凸性给予了函数一些很好的性质，函数凹凸的判定形式也非常多，通过函数的凹凸性也进一步定义了函数的拐点，也给出了很多实用不等式如Jensen不等式，由Jensen不等式我们可以推得以前经常使用的柯西不等式、均值不等式等等，以及Minkowskii不等式
第十一周学习心得
大体内容
本周学习了微分的概念，泰勒公式，有带Peano余项的泰勒公式，以及带Lagrange余项的泰勒公式
微分的意义
微分与导数定义所不同的是，微分试图用一种误差小的方式将不容易分析的非多项式复杂函数用线性函数逼近，即把非线性函数线性化，使得函数处理起来方便许多，但也意味着误差需要考虑在内，估计也只能放于局部
泰勒公式的意义
泰勒公式可以说是在微分思想的基础上，建立了非多项式函数向多项式函数的近似处理，使得不容易处理的复杂函数转化为我们好处理的多项式函数，并且，泰勒公式可以通过增加项的最高次数，使得误差尽可能缩小，从而在局部范围内得到良好的估计效果
Peano余项
Peano余项可以说也是一种误差大小的表示形式，但是它是一种初略的表示，不能参与计算，但这种初略使得很多误差的计算得以简化，减少不必要的误差值计算，同时也足够用来评估误差大小
Lagrange余项
Lagrange余项对于Peano余项的具体数值给了准确的定量的表示方式，通过拉格朗日余项，我们可以更为准确地判断误差值的大小，对于误差的精确表示，使得在一点处的展开式可以较好地应用于较为大的区间近似，同时，这种形式的泰勒展开也给我们求不等式，求最值，求中值给了一种新的抽象的方式方法
第十二周学习心得
大体内容
本周我们学习了有关不定积分的知识，在学会导数和微分的基础上来建立函数不定积分的概念，从某种意义上说，不定积分是求导运算的逆运算，在本周我们学习了基本初等函数的不定积分表（其实就是导数运算的逆运算，相当于没学），还在已知的基本初等函数导数的基础上补充了反三角函数的积分、对数函数积分、复合函数积分......学习了比肉眼看更为科学的求积分的方法套路，学习了一些计算的基本思想
不定积分的概念
我们定义了原函数的概念，即在某区间上的导数为对应函数的函数。
在原函数基础上我们定义了不定积分的概念，一个函数的不定积分是它在指定区间上的全体原函数，由于一个函数的积分形式不定，各原函数之间可以相差一个常数，所以称为不定积分
学习了一些基本的积分公式，也即基本初等函数的积分公式
学习了不定积分的线性性质，帮助我们更好更方便地进行积分运算，解决一些较为复杂但是依旧基础的积分计算
换元积分法和分部积分法
换元积分法
顾名思义，即通过换元简化积分的求解
第一类换元
通过对被积函数的观察，对需要的部分进行换元处理，来简化积分运算
第二类换元
通过对积分变量进行换元处理，来简化计算，本质上与第一类换元相通，但是形式上有所差异而已
倒换法
求分式积分时，当分式的次数比分子的次数高很多时，考虑将积分变量还原为原积分变量的倒数进行求解运算
三角换元
用于根式底数次数为二次的积分，可以化掉根式，简化积分运算
lnx、expx的换元
这两个函数由于其求导具有良好的性质，也可以用来简化运算
整体根式换元
需根据具体情况考虑换元的合理性
分部积分法
来源
函数乘积的求导法则，因为有些情况下一个函数原函数与另一个函数导函数的乘积积分不好求，通过函数乘积的求导法则转化为另一个函数的原函数与另一个函数的导数乘积的积分的求解，某些情况下可以简化积分运算
基本套路
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当幂函数与指数函数相乘时，由于指数函数导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为初始原函数进行分部积分
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当幂函数与三角函数相乘时，由于三角函数的偶数次导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为原始原函数进行分布积分来降次
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当指数函数与三角函数相乘时，通常把三角函数作为原函数，利用其求导的循环周期性质，构造循环方程式，用解方程的方式求解相应不定积分
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当三角函数与某些函数相乘时，利用三角函数求导的循环性，构造递归式求解
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当反三角函数与其他函数相乘时，由于反三角函数的原函数非常难求，考虑把反三角函数作为初始原函数进行求解
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求高次三角函数时，通常把高次三角函数分离出一次作为初始导数进行分部积分
第十三周学习心得
大体内容
本周学习了有理积分的不定积分的求解以及一些无理积分的求解,学习了一部分的定积分
有理积分的求解
有理积分有很多种
分式型有理函数积分的求解
真分式
由已知结论可知，任何有理真分式可以分解为分母为若干一次函数的次方分子为常数的分式与若干分母为二次函数的次方分子为一次函数的分式之和
对于普通一次函数为分母的分式，直接凑对数函数或幂函数的微分即可求解
对于二次函数为分母的分式，通过先凑微分将分子并入被积变量，分解为分子为分母导数的分式与分子为常数的分式
对于分子为分母导数的分式，通过凑微分法利用对数函数与幂函数的微分即可轻松求解
对于分子为常数的分式，看分母次数，如果为一次，将分母配方后利用因式分解或反三角函数的微分进行求积；如果为多次，配方后三角换元，利用三角函数分部积分的递推式进行求解
倒代换当分母次数明显高于分子时可以考虑使用倒代换
假分式
化为多项式和真分式进行求积
三角函数的分式
通解，通过万能公式把三角函数全部化为分式多项式，转化为有理分式进行求积
递归求解有些三角分式结构利用分部积分可以求得递归式，通过多次递归迭代可以求得函数积分
凑微分这个需要看技术
其他可化为有理式函数的积分
e，可以把e的指数进行换元
简单无理函数的积分
\(R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\)
这种一般令\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)进行代换求积，很多形式的根式可以通过提出一些因式转化为类似这种的形式再代换求解
\(R=(\sqrt[n]{x},\sqrt[m]{x})\)
令\(x=t^{mn}\)
\(R(x,\sqrt[n]{ax+b})\)
令\(t=\sqrt[n]{ax+b}\)
\(R=(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\)
通过配方法转化为以下形式再通过换元法求解
\(\int R(u,\sqrt{u^{2}\pm k^{2}})\) ,\(\int R(u,\sqrt{k^{2}-u^{2}})\)
定积分
定积分的概念
定积分的几何意义
当函数值在被积区间恒为非负数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积
当函数值在被积区间上为非正数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积的相反数
可积条件
必要条件
有界
充要条件
达布上和和达布下和在分割细度足够小时有相同的极限
有关达布和的相关结论
引理7.2.1
分割密度增加时达布上和不增，达布下和不减
可积准则
达布上和极限与达布下和极限相等
定积分的基本性质
性质7.2.1
线性性质
性质7.2.2
积分的保序性保号性
性质7.2.3
估值不等式
第十四周学习心得
大体内容
本周我们学习了定积分的基本性质、求解方法以及定积分的应用场景
定积分的基本性质
线性性质
可加减可数乘，\(\int_{a}^{b} [\alpha f(x)+\beta g(x)] ,dx\) = \(\alpha \int_{a}^{b} f(x) ,dx+\beta \int_{a}^{b} g(x),dx\)
保序性保号性
- 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq 0\) ，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq 0\)
- 设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq g(x)\)，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq \int_{a}^{b} g(x) ,dx\)
估值不等式
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值M和最小值m，则\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) ,dx \leq M(b-a)\)
乘积可积性
若\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上也可积
绝对可积性
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上也可积，且\(|\int_{a}^{b} f(x) ,dx| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| ,dx\)
区间可加性
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则对任意的\(c \in [a,b]\) ，\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积；反过来，若\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积，则在\([a,b]\)上也可积。此时有等式\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx = \int_{a}^{c} f(x),dx+\int_{c}^{b}f(x),dx\)
Cauthy-Schwarz不等式
设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\([\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx]^2 \leq \int_{a}^{b}f^2(x),dx \int_{a}^{b}g^2(x),dx\)
可积函数类
连续可积
有限间断点有界可积
单调可积
积分中值定理
积分第一中值定理
若\(f(x),g(x)\)都在\([a,b]\)上连续，且\(g(x)\)在\([a,b]\)上不变号，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\) ，使得\(\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(\xi )\int_{a}^{b}g(x),dx\)
积分第二中值定理
积分第三中值定理
微积分基本定理
变上限积分函数
概念
上线为自变量的积分对应的函数
性质
函数可积，对应的变上限积分函数连续
函数连续，对应的变上限积分函数可导
即积分具有磨光性
函数连续，则对应的变上限积分函数为函数的一个原函数
牛顿莱布尼茨公式
构建了微分与积分的关系，使得微积分从此成为一门完整的学科，标志着微积分的诞生
定积分的计算
换元积分法
分部积分法
观察一些性质，比如有中心对称性质的函数的积分，偶函数积分，奇函数在对称区间上的积分
定积分的应用
平面图形的面积
直角坐标系
参数方程
极坐标系
第十五周学习心得
大体内容
学习了如何应用定积分求解旋转曲面面积、旋转体体积，并分别学习了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的求解公式与推导过程；
学习了用积分求解平面曲线的弧长和曲率，了解了曲率的定义与曲率圆的概念，学习了光滑曲线的严格定义，直角坐标、参数方程、极坐标三种弧长的表达形式和曲率的求解公式；
我们也学习了定积分在物理中的应用，学习到了应用积分思想解决物理问题的新思路；
在第九章中，学习了广义积分，把原有黎曼积分的局限性打破，添加了无穷积分与瑕积分两种反常积分，分别解决了区间无界的函数积分的求解与函数无界的积分的求解，学习了广义积分收敛的判断方法
第十六周学习心得
大体内容
本周结束学习了淑芬中的第九章，继续学习了有关广义积分的相关知识，探究了非负函数广义积分收敛性判断的有关定理方法，以及对一般函数广义积分收敛的判定方法。 在结束第九章后，学习了微分方程，了解了微分方程的定义概念，学会判断微分方程类型，微分方程的阶数，微分方程的组成，微分方程解的求解方法和解的规律性结构，由于微分方程求解非常复杂，在目前阶段我们尝试求解的微分方程是微分方程中的简单可解的极少一部分，不过解微分方程的过程中涉及的新的求解思想是我们需要了解并熟知的
非负函数无穷积分的收敛性判别
无穷积分的本质其实可以说是一个变上限或变下限积分函数的极限值，由于一般函数的变限积分性质不够良好，不好做初始研究，我们首先选择非负函数的变限积分函数进行研究，利用其非负的特性，也即变限积分函数单调的特性来方便对非负函数无穷积分的收敛性做判断
定理9.2.1
设\(f(x)\)是区间\([a,+\infty)\)上的非负函数，且对任意的\(A>a\)，积分\(\int_{a}^{A}f(x),dx\)存在。则无穷积分\(\int_{a}^{A}f(x),dx\)在\([a,+\infty)\)有界。
这里为了叙述方便，默认函数在积分区间有定义。
定理9.2.2 无穷积分的比较判别法
设存在\(X>a\)，对于任意的\(x>X\)，都有\(0\leq f(x)\leq g(x)\)，则
- 当\(\int_{a}^{\infty}g(x),dx\)收敛时，必有\(\int_{a}^{\infty}f(x),dx\)收敛
- 当\(\int_{a}^{\infty}f(x),dx\)发散时，必有\(\int_{a}^{\infty}g(x),dx\)发散
类比可得在其他区间上的无穷积分的比较判别法
应用此定理关键在于找到合适的比较函数，例如\(\frac{1}{x^p}\)和\(\frac{1}{xln^{p}x}\)是常用的比较函数，其收敛相关参数值要熟知
定理9.2.3 极限形式的比较判别法
设\(f(x),g(x)\)是\([a,+\infty)\)上的非负函数，且有\(\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = l\)，则
- 若\(0<l<+\infty\)，则\(\int_{a}^{+\infty} g(x) ,dx\)与\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)同敛散
- 若\(l=0\)，则当\(\int_{a}^{+\infty} g(x) ,dx\)收敛时，必有\(\int_{a}^{+\infty} f(x) ,dx\)收敛
- 若\(l=+\infty\)，则当\(\int_{a}^{+\infty} g(x),dx\)发散时，必有\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)发散
对于到\(-\infty\)的区间只需把\(x \rightarrow +\infty\)改成\(x \rightarrow -\infty\)即可
因为我们只需考虑极限处两函数的等价关系，所以在判断收敛性时可以使用等价无穷小代换为常见比较函数简化判断
一般函数无穷积分的收敛性判别法
无穷积分收敛的充分必要条件
定理9.3.1 Cauthy收敛原理
设函数\(f(x)\)在\([a,+\infty)\)上有定义，对于任意\(A>a\)，函数\(f(x)\)在\([a,A]\)上可积，则无穷积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛的充分必要条件是：任意给\(\epsilon >0\)，存在\(M>0\)使得对于任意的\(A_2>A_1>M\)都有\(|\int_{A_1}^{A^2} f(x),dx < \epsilon\).
无穷积分的绝对收敛
定理9.3.2
如果\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)收敛，则\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛
定义9.3.1
如果广义积分\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)收敛，则称广义积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)绝对收敛，如果广义积分\(\int_{a}^{+\infty} |f(x)|,dx\)发散，而积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛，则称广义积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)条件收敛
函数乘积积分的收敛判别法
定理9.3.3
设对于任意的\(A>a,g(x) \in R([a,A])\)，且\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)上有界，若\(\int_{a}^{+\infty}f(x),dx\)绝对收敛，则无穷积分\(\int_{a}^{+\infty}|f(x)g(x)|,dx\)绝对收敛，且有 \[ \int_{a}^{+\infty}|f(x)g(x)|,dx \leq M\int_{a}^{+\infty}|f(x)|,dx \] 其中\(|g(x)| \leq M(a\leq x<+\infty)\)
定理9.3.4 Dirichlet判别法
如果在区间\([a,+\infty)\)上定义的函数\(f(x),g(x)\)满足下列条件：
- \(F(A)=\int_{a}^{A}f(x),dx\)在\([a,+\infty)\)上有界；
- 函数\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调且\(\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\) ， 则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x),dx\)收敛
定理9.3.5 Abel判别法
如果在区间\([a,+\infty)\)上定义的函数\(f(x),g(x)\)，满足下列条件：
- 无穷积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x),dx\)收敛
- 函数\(g(x)\)在\([a,+\infty)\)单调有界 则\(\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x),dx\)收敛
微分方程
第十七周学习心得
大体内容
学习了简单可解常微分方程的定义、概念、分类、求解方法、解的结构等等
常微分方程
微分方程的基本概念
定义10.1.1
一个描述了自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）之间关系的等式，称为微分方程，如果这样的等式有多个，则称之为微分方程组
常微分方程：自变量只有一个； 偏微分方程：函数自变量有两个及以上，相应的导数称为偏导数，含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
定义10.1.2
给定一个微分方程，方程中出现的未知数的导数的最高阶数称为微分方程的阶
定义10.1.3
考虑n阶常微分方程。若函数\(y=f(x)\)在区间\(I\)有直到n阶的导数,且将函数\(y=f(x)\)代入方程时等式恒成立,则称\(y=f(x)\)是区间\(I\)上的微分方程的一个解
显示解:用显示表达来表示的方程的解称为显示解; 隐式解:由方程\(\varphi (x,y)\)所确定的隐函数来表示的解
微分方程的解往往不是唯一的,微分方程的阶数等于微分方程通解中出现的任意常数的个数
定义10.1.4
对于n阶常微分方程,如果微分方程的解的表达式中含有n个独立的任意常数,则称这样的解为微分方程的通解.如果一个解的表达式中不含任意常数,则称这个解为微分方程的特解
显然在一个通解中确定了任意常数的取值之后就能得到特解.但是通解不一定是微分方程的所有解,一般情况下是
为了确定n阶常微分方程的特解而给出的附加条件称为定解条件,求方程的满足定解条件的特解的问题称为定解问题.对n阶常微分方程而言,在实际问题中最常用的定解条件是初值条件: \[y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0,...,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0\] 上述初值条件与方程联立的问题称为初值问题,也叫Cauthy问题
积分曲线:微分方程的解的图形曲线称为这一微分方程的积分曲线 积分曲线簇:微分方程的通解的图形对应的一族曲线
一阶微分方程的解法
初等积分法:把微分方程的求解问题转化为积分问题
这几类方程为:变量分离方程,齐次方程,一阶线性微分方程和伯努利方程
变量分离方程
变量分离方程:形如 \[\frac{dy}{dx}=\frac{X(x)}{Y(y)}\] 的微分方程称为变量分离方程
变量分离法:将一个微分方程化为如上变量分离方程的方法
使用微分运算,方程可化为 \[Y(y)dy=X(x)dx,\] 由不定积分的换元积分法,这时在上式两边分别求不定积分可得等式 \[\int Y(y)dy=\int X(x)dx + C\] 这就得到了微分方程的解应满足的条件
齐次方程
齐次方程:形如 \[\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\] 的常微分方程,其中f是一个区间上的连续函数
对于齐次方程,可以通过变量代换\(u=\frac{y}{x}\)将其化为变量分离方程.因为\(y=ux\),两边对x同时求导得 \[\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\] 将上式代入方程得 \[u+x\frac{du}{dx}=f(u)\] 如下分离变量: \[\frac{du}{f(u)-u}=\frac{1}{x}dx\] 两边积分后得到关于函数u的解,再用\(u=\frac{y}{x}\)代入,得到方程的解
可化为齐次方程的一阶微分方程: 讨论形如 \[\frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{mx+ny+l})\] 的方程的解法.这里的a,b,c,m,n,l均为常数
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当行列式 \[ \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ m & n \end{array} \right| =an-bm\neq0 \] 这时可令 \[X=x-h,y=y-k\] 其中h,k满足方程组 \[ \begin{cases} ah+bk+c=0,\\ mh+nk+l=0 \end{cases} \] 则有 \[ aX+bY=ax+by+c,mX+nY=mx+ny+l \] 再由\(dY=dy,dX=dx\),可将原方程化为齐次方程： \[ \frac{dY}{dX}=f(\frac{aX+bY}{mX+nY})=f(\frac{a+b\frac{Y}{X}}{m+n\frac{Y}{X}}), \] 通过齐次方程的求解方法即可把解解出,记得换回原变量
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当行列式 \[ \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ m & n \end{array} \right| =an-bm=0 \] 时,
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此时若\(a=0,b\neq 0\)则不难得到\(m=0\),方程即 \[ \frac{dy}{dx}=f(\frac{by+c}{ny+l}) \] 这是个变量分离方程,用变量分离方程的解法求解即可
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当\(a\neq 0,b=0\)时,有\(n=0\),这时方程也是一个变量分离方程
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当\(a\neq 0,b\neq 0\)时,此时存在\(\lambda\),使得\(m=\lambda a,n=\lambda b\),则方程有形式 \[ \frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{\lambda (ax+by)+l}) \] 做代换\(u=ax+by\),则方程化为 \[ b^{-1}\frac{du}{dx}-\frac{a}{b}=f(\frac{u+c}{\lambda u+l}), \] 这也是个变量分离方程,可通过变量分离方程的解法求解
-
当\(m\neq 0,n\neq 0\)时,可令\(u=mx+ny\),同样也可以化为变量分离方程求解
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程: \[ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) \]
- 当上式中的\(q(x)=0\)时,称该方程为齐次的一阶线性微分方程
- 当\(q(x)\neq 0\)时,称该方程为非齐次的一阶线性微分方程
齐次线性微分方程: 是一个分离变量方程,可化为 \[ \frac{dy}{y}=-p(x)dx, \] 两边求积分得 \[ ln|y|=-\int p(x),dx+lnC_1, \] 因此通解为 \[ y=Ce^{-\int p(x),dx}, \] 这里用\(\int p(x),dx\)表示\(p(x)\)的一个原函数
非齐次一阶线性微分方程: （常数变易法）设方程有形如 \[ y=C(x)e^{-\int p(x),dx} \] 的解,则由 \[ y'=C'(x)e^{-\int p(x),dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}. \] 代入方程可得 \[ y'=C'(x)e^{-\int p(x),dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}=q(x) \] 要使\(y=C(x)e^{-\int p(x),dx}\)是方程的解,只需 \[ C'(x)=q(x)e^{\int p(x),dx}. \] 因此取 \[ C(x)=\int q(x)e^{\int p(x),dx},dx+C. \] 可得通解为 \[ y=e^{-\int p(x),dx}[\int q(x)e^{\int p(x),dx},dx+C]. \]
伯努利(Bernoulli)方程
伯努利方程: \[ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n, \] 其中\(p(x),q(x)\)为连续函数.当\(n=0\)或\(n=1\)时,上述方程为一阶线性微分方程,因此下面假设\(n\neq 0,1\).
通过变量代换将方程化为一阶线性微分方程求解,在方程两边同乘以\(y^{-n}\)可得 \[ y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x), \] 化为 \[ \frac{d}{dx}y^{1-n}+(1-n)p(x)y^{1-n}=(1-n)q(x). \] 令\(u=y^{1-n}\),则方程化为 \[ \frac{du}{dx}+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x) \] 为一阶线性微分方程
上述几种特殊类型的常微分方程的解法,特别是在变量分离方程和一阶线性微分方程的解法的基础上,可以对一些方程经过适当的变换进行求解
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶线性微分方程解的结构
n阶线性微分方程: \[ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x), \]
- 齐次线性微分方程:当\(f(x)=0\)时
- 非齐次线性微分方程:当\(f(x)\)不恒为0时
- 常系数线性微分方程:当\(a_i(x)\)为常值函数时
定理10.3.1
若\(y_1(x),y_2(x)\)是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解,则\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)为该方程的通解,其中\(C_1,C_2\)为任意常数.
性质10.3.1
若\(y=Y(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则\(y=Y(x)+y^* (x)\)也是该方程的解
性质10.3.2
若\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)都是二阶线性微分方程的解,那么\(y=y_1(x)-y_2(x)\)是该方程对应的二阶齐次线性微分方程的解
定理10.3.2
若\(y=Y(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则\(y=Y(x)+y^* (x)\)是该方程的通解
联系之前的结论,可得若\(y_1(x),y_2(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则该方程的通解为\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^* (x)\) ,其中\(C_1,C_2\)为任意常数
定理10.3.3
设函数\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)分别是非齐次线性微分方程 \[ \begin{gather*} y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x);\\ y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x); \end{gather*} \] 的特解,则\(y=y_1(x)+y_2(x)\)为 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x) \] 的一个特解
二阶常系数线性齐次微分方程的解法
对于二阶线性非齐次微分方程 \[ y''+py'+qy=f(x) \] 先求对应二阶齐次线性微分方程 \[ y''+py'+qy=0 \] 的解
观察到,解应该为\(y=e^{\lambda x}\),因此设此为该齐次方程的解,那么就有 \[ \lambda^2+p\lambda+q=0 \] 称这个为特征方程,特征方程的根称为特征根
对于解的结果分三种情况讨论
-
\(\Delta >0\) 那么通解为\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
-
\(\Delta=0\) 那么特征方程有一个重根\(\lambda\) 将\(y=xe^{\lambda x}\)代入方程得 \[ (2\lambda+p)e^{\lambda x}+x(\lambda^2+p\lambda+q)e^{\lambda x}=0 \] 依旧成立 所以\(y=xe^{\lambda x}\)也是原方程的一个特解,且与\(y=e^{\lambda x}\)线性无关 所以通解为\(y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\)
-
\(\Delta<0\) 特征方程有一对共轭复根,\(\lambda_1=\alpha +\beta i,\lambda_2=\alpha-\beta i\).如果我们在复数域内仍然有相同的求导公式,则\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)仍然是方程的通解,取\(C_1=\frac{1}{2},C_2=\frac{1}{2}\),则得到实数域内的一个特解\(y=e^{\alpha x}cos\beta x\),取\(C_1=\frac{1}{2i},C_2=\frac{1}{-2i}\)则得到实数域内的另一个与前者线性无关的特解\(y=e^{\alpha}sin\beta x\), 所以方程的通解为\(y=C_1e^{\alpha x}cos\beta x +C_2e^{\alpha x}sin\beta x\)
二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
在求出了其对应的齐次线性微分方程的通解后,根据前面的解的结构的相关定理,我们还需解出一个原方程的特解,这里主要讨论两种特殊情形
- 非齐次项形如\(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}\),猜测特解形如\(y=Q(x)e^{\mu x}\),代入方程得 \[ Q''(x)+(2\mu+p)Q'(x)+(\mu^2+p\mu+q)Q(x)=P_m(x) \] 此时左右两边都是多项式,对比系数使两边相等
分三种情况
- \(\mu^2+p\mu+q \neq 0\) 则\(Q(x)\)为一个m次多项式
- \(\mu^2+p\mu+q = 0\)且\(2\mu+p \neq 0\)即\(\mu\)为齐次线性微分方程的特征方程的单根 则令\(Q(x)=xQ_m(x)\)
- \(\mu^2+p\mu+q = 0\)且\(2\mu+p = 0\)即\(\mu\)为齐次线性微分方程的特征方程的重根 则令\(Q(x)=x^2Q_m(x)\)
设好特解的一般形式后代入方程中对比系数对应相等即可解出特解中多项式的各项系数,从而得到特解
根据定理,结合之前求得的通解,得到二阶非齐次线性方程的通解
- 非齐次项形如\(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}(\alpha cosx + \beta sinx)\)
两种方法
- 同前
- 辅助方程 详见北京航空航天出版社《工科数学分析》
第一章
第二章
第三章
第四章
第五章 泰勒公式
Taylor公式
泰勒公式的推导
由微分的定义可知,如果函数\(f(x)\)在点\(x_0\)可导,则在点\(x_0\)附近有 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)(x \rightarrow x_0) \] 也即在点\(x_0\)附近函数\(f(x)\)可用一次多项式\(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\)近似,我们接下来讨论用二次多项式近似函数\(f(x)\)的情况
假设函数\(f(x)\)能被一个二次多项式\(a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2\)逼近,且其逼近的误差\(R_2(x)=f(x)-[a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2]\)在\(x \rightarrow x_0\)时是\((x-x_0)^2\)的高阶无穷小量,即有 \[ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0). \] 成立.令该式中\(x \rightarrow x_0\),由函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续可得 \[ f(x_0)=lim_{x \to x_0}f(x)=a_0 \] 将\(a_0=f(x_0)\)代入原式并做简单变形可得 \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a_1+a_2(x-x_0)+o(x-x_0) \] 在上式中令\(x \rightarrow x_0\),由\(f(x)\)在\(x_0\)处可导可得 \[ f'(x_0)=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a_1 \] 将\(a_1=f'(x_0)\)代入原式并做简单变形得 \[ \frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=a_2+o(1) \] 在上式中令\(x \rightarrow x_0\),运用L'Hospital法则以及函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数可得 \[ a_2=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}=\frac{f''(x_0)}{2} \] 所以如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有二阶导数且有 \[ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0). \] 那么就有 \[ a_0=f(x_0),a_1=f'(x_0),a_2=f''(x_0) \] 反过来,如果只假设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数,设 \[ R_2(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2] \] 使用L'Hospital法则,以及函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有二阶导数的条件,就有 \[ \begin{multline*} lim_{x \to x_0}\frac{R_2(x)}{(x-x_0)^2}=lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)}{2(x-x_0)}\\ =lim_{x \to x_0}[\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}-\frac{f''(x_0)}{2}]=0 \end{multline*} \] 所以只要有函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数,就有 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0) \] 成立.
一般地,若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有n阶导数,那么上述定理就可以推广为带Peano余项的泰勒定理
带Peano余项的泰勒定理
定理5.2.1(带Peano余项的泰勒定理)
设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处有n阶导数,则存在一个\(x_0\)领域,对该领域内的任意一点\(x\)有 \[ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)(x \rightarrow x_0). \] 通常记 \[ \begin{gather*} T_n(f,x_0;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,\\ R_n(x)=f(x)-T_n(f,x_0;x). \end{gather*} \] 其中\(R_n(x)\)称为余项.定理中式子说的是\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\).一般称该定理中的式子为带Peano余项的Taylor公式,它的前n+1项组成的多项式 \[ T_n(f,x_0;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \] 称为\(f(x)\)在\(x_0\)处的n阶Taylor多项式. \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)这种形式的余项称为Peano余项
定理表明,当\(x\)趋向于\(x_0\)时,用\(T_n(f,x_0;x)\)近似代替函数\(f(x)\)产生的误差是\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小.这反映了函数\(f(x)\)在\(x_0\)附近表现出的局部性质,于是也称带Peano余项的泰勒公式为局部Taylor公式
特别地,取\(x_0=0\)时得到的Taylor公式称为Maclaurin(麦克劳林)公式,此时即有 \[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n). \]
常见函数的Maclaurin麦克劳林公式
- \(e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}+o(x^n)\)
- \(sinx=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})\)
- \(cosx=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{2k!}+o(x^{2n+1})\)
- \(ln(1+x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n)\)
- \(ln(1-x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k}+o(x^n)\)
- \(\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^k+o(x^n)\)
- \(\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}{n}x^k+o(x^n)\)
- \((1+x)^{\lambda}(x>-1)=\sum_{k=0}^{n}C_{\lambda}^{k}x^k+o(x^n)\)
在求第5、7个公式时,我们可以选择使用间接法求泰勒公式,因为泰勒公式具有唯一性,所以用间接法类似换元求出的泰勒公式一定是相应函数的泰勒公式,这样有时可以极大减小计算量,像直接通过定理求导得出泰勒公式的方法我们叫作直接法
另外,在求一些特殊函数如反三角函数的泰勒公式时,还可以应用泰勒公式与导数的泰勒公式的关系来求,也即,函数导数的泰勒展开式是原函数泰勒展开式的导数
定理5.2.2
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有k阶导数,且有 \[ f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{(k-1)}(x_0)=0,f^{(k)}(x_0)\neq 0 \] 那么
- 当k为偶数时:若\(f^{(k)}(x_0)>0\),则\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极小值点;若\(f^{(k)}(x_0)<0\),则\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极大值点.
- 当k为奇数时:\(x_0\)不是函数\(f(x)\)的极值点.
由带Peano余项的泰勒公式知 \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^k)(x \rightarrow x_0) \] 上式化为 \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}+o(1)(x \rightarrow x_0) \] 那么有:
- 当k为偶数时:若\(f^{(k)}(x_0)>0\),则在\(x_0\)的一个领域内有\(f(x)-f(x_0)>0\)恒成立,也即\(x_0\)为函数\(f(x)\)的极小值点;若\(f^{(k)}(x_0)<0\),则在\(x_0\)的一个领域内有\(f(x)-f(x_0)<0\)恒成立,也即\(x_0\)为函数\(f(x)\)的极大值点.
- 当k为奇数时:不论\(f^{(k)}(x_0)\)为何值,都有\(f(x)-f(x_0)\)在\(x_0\)两侧异号,\(x_0\)不是函数\(f(x)\)的极值点
带Lagrange余项的Taylor定理
定理5.2.3(带Lagrange余项的Taylor定理)
设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上有连续的\(n\)阶导数，在开区间\((a,b)\)上有\(n+1\)阶导数，则对任意\(x_0,x\in [a,b]\),存在\(\theta \in (0,1)\),使得 \[ f(x)=T_n(f,x_0;x)+\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. \]
常见函数的带Lagrange余项的Maclaurin公式的余项
- \(e^x=\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}(x \in R)\)
- \(sinx=(-1)^n\frac{cos(\theta x)}{(2n+1)!}x^{2n+1}(x \in R)\)
- \(cosx=(-1)^{n+1}\frac{cos(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}(x \in R)\)
- \((1+x)^{\lambda}=C_{\lambda}^{n+1}x^{n+1}(1+\theta x)^{\lambda -n-1}(x \in (-1,1))\)
- \(ln(1+x)=\frac{(-1)^n}{n+1}\frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}}(x \in (-1,1))\) 其中\(\theta \in (0,1)\).
第六章不定积分
不定积分的概念
我们定义了原函数的概念，即在某区间上的导数为对应函数的函数。
在原函数基础上我们定义了不定积分的概念，一个函数的不定积分是它在指定区间上的全体原函数，由于一个函数的积分形式不定，各原函数之间可以相差一个常数，所以称为不定积分
学习了一些基本的积分公式，也即基本初等函数的积分公式
学习了不定积分的线性性质，帮助我们更好更方便地进行积分运算，解决一些较为复杂但是依旧基础的积分计算
换元积分法和分部积分法
换元积分法
顾名思义，即通过换元简化积分的求解
第一类换元
通过对被积函数的观察，对需要的部分进行换元处理，来简化积分运算
第二类换元
通过对积分变量进行换元处理，来简化计算，本质上与第一类换元相通，但是形式上有所差异而已
倒换法
求分式积分时，当分式的次数比分子的次数高很多时，考虑将积分变量还原为原积分变量的倒数进行求解运算
三角换元
用于根式底数次数为二次的积分，可以化掉根式，简化积分运算
lnx、expx的换元
这两个函数由于其求导具有良好的性质，也可以用来简化运算
整体根式换元
需根据具体情况考虑换元的合理性
分部积分法
来源
函数乘积的求导法则，因为有些情况下一个函数原函数与另一个函数导函数的乘积积分不好求，通过函数乘积的求导法则转化为另一个函数的原函数与另一个函数的导数乘积的积分的求解，某些情况下可以简化积分运算
基本套路
-
当幂函数与指数函数相乘时，由于指数函数导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为初始原函数进行分部积分
-
当幂函数与三角函数相乘时，由于三角函数的偶数次导数与原函数之间形式差异不大，通常把幂函数作为原始原函数进行分布积分来降次
-
当指数函数与三角函数相乘时，通常把三角函数作为原函数，利用其求导的循环周期性质，构造循环方程式，用解方程的方式求解相应不定积分
-
当三角函数与某些函数相乘时，利用三角函数求导的循环性，构造递归式求解
-
当反三角函数与其他函数相乘时，由于反三角函数的原函数非常难求，考虑把反三角函数作为初始原函数进行求解
-
求高次三角函数时，通常把高次三角函数分离出一次作为初始导数进行分部积分
选择原函数的方法:LIATE选择法
- L对数函数
- I反三角函数
- A代数函数
- T三角函数
- E指数函数
对应字母在前的优先选择为原函数
第七章 定积分
有理积分的求解
有理积分有很多种
分式型有理函数积分的求解
真分式
由已知结论可知，任何有理真分式可以分解为分母为若干一次函数的次方分子为常数的分式与若干分母为二次函数的次方分子为一次函数的分式之和
对于普通一次函数为分母的分式，直接凑对数函数或幂函数的微分即可求解
对于二次函数为分母的分式，通过先凑微分将分子并入被积变量，分解为分子为分母导数的分式与分子为常数的分式
对于分子为分母导数的分式，通过凑微分法利用对数函数与幂函数的微分即可轻松求解
对于分子为常数的分式，看分母次数，如果为一次，将分母配方后利用因式分解或反三角函数的微分进行求积；如果为多次，配方后三角换元，利用三角函数分部积分的递推式进行求解
倒代换当分母次数明显高于分子时可以考虑使用倒代换
假分式
化为多项式和真分式进行求积
三角函数的分式
通解，通过万能公式把三角函数全部化为分式多项式，转化为有理分式进行求积
递归求解有些三角分式结构利用分部积分可以求得递归式，通过多次递归迭代可以求得函数积分
凑微分这个需要看技术
其他可化为有理式函数的积分
e，可以把e的指数进行换元
简单无理函数的积分
\(R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\)
这种一般令\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)进行代换求积，很多形式的根式可以通过提出一些因式转化为类似这种的形式再代换求解
\(R=(\sqrt[n]{x},\sqrt[m]{x})\)
令\(x=t^{mn}\)
\(R(x,\sqrt[n]{ax+b})\)
令\(t=\sqrt[n]{ax+b}\)
\(R=(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\)
通过配方法转化为以下形式再通过换元法求解
\(\int R(u,\sqrt{u^{2}\pm k^{2}})\) ,\(\int R(u,\sqrt{k^{2}-u^{2}})\)
定积分
定积分的概念
定积分的几何意义
-
当函数值在被积区间恒为非负数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积
-
当函数值在被积区间上为非正数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积的相反数
可积条件
可积的必要条件
定理7.2.1
若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必定有界
证明： (反证法)若\(f(x)\)在\([a,b]\)上无界,则对该区间的任意分割T,必存在某个小区间\(\Delta x_k\),使得\(f(x)\)在\(\Delta x_k\)上无界.在\(i\neq k\)的任意小区间\(\Delta x_i\)上任意取\(\xi_i\),记 \[ G=|\sum_{i \neq k}f(\xi_i) \Delta x_i| \] 对任意的\(M>0\),由\(f(x)\)在\(\Delta x_k\)上无界,则存在\(\xi_k \in \Delta x_k\),使得\(|f(\xi_k)|>\frac{M+G}{\Delta x_k}\). 于是有 \[ \begin{gather*} |\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|\geq |f(\xi_k)\Delta x_k|-|\sum_{i \neq k}f(\xi_i)\Delta x_i|\\ \frac{M+G}{\Delta x_k}\Delta x_k-G=M. \end{gather*} \] 这与存在一个细度足够小的分割使积分和的绝对值小于一个有限值矛盾. 所以函数有界是函数可积的必要条件
(直接法)已知函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积,则对\([a,b]\)的任意分割T,在各个小区间\(\Delta x_i\)上任意取\(\xi_i\),有 \[ lim_{||T|| \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i=A \] 所以对\(\forall \varepsilon>0\)存在\(\delta>0\),当\(||T||<\delta\)时,有 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i - A|<\varepsilon \] 根据绝对值不等式,不等式可化为 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i|<\varepsilon+|A| \] 取\(\varepsilon =1\)则存在一个分割\(T_0\)使得 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i|<|A|+1 \] 成立.由绝对值三角不等式有 \[ |\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i| \geq |f(\xi_1)\Delta x_1|-|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i| \] 所以有 \[ \begin{gather*} |f(\xi_1)\Delta x_1|-|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|<|A|+1\\ \Rightarrow |f(\xi_1)\Delta x_1|<|\sum_{i=2}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i|+|A|+1 \end{gather*} \] 对于每一个在\(\Delta x_1\)内任意取的\(\xi_1\),都有在各区间\(\Delta x_i\)已经任意取定的\(\xi_i\)使得不等号右侧为一固定有限值,记为\(B\),则有 \[ |f(\xi_1)\Delta x_1|<B \] 也即函数\(f(x)\)在区间\(\Delta x_1\)上有界,同理可得,对于任一区间\(\Delta x_i\)函数\(f(x)\)在区间上有界,所以函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界
有界函数可积的充要条件
达布上和和达布下和在分割细度足够小时有相同的极限
有关达布和的相关结论
引理7.2.1
分割密度增加时达布上和不增，达布下和不减
定理7.2.2 可积准则
达布上和极限与达布下和极限相等
定积分的基本性质
线性性质
可加减可数乘，\(\int_{a}^{b} [\alpha f(x)+\beta g(x)] ,dx\) = \(\alpha \int_{a}^{b} f(x) ,dx+\beta \int_{a}^{b} g(x),dx\)
保序性保号性
- 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq 0\) ，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq 0\)
- 设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq g(x)\)，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq \int_{a}^{b} g(x) ,dx\)
估值不等式
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值M和最小值m，则\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) ,dx \leq M(b-a)\)
乘积可积性
若\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上也可积
绝对可积性
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上也可积，且\(|\int_{a}^{b} f(x) ,dx| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| ,dx\)
区间可加性
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则对任意的\(c \in [a,b]\) ，\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积；反过来，若\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积，则在\([a,b]\)上也可积。此时有等式\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx = \int_{a}^{c} f(x),dx+\int_{c}^{b}f(x),dx\)
Cauthy-Schwarz不等式
设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\([\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx]^2 \leq \int_{a}^{b}f^2(x),dx \int_{a}^{b}g^2(x),dx\) >证明: >记\(A=\int_{a}^{b}f^2(x)dx,B=\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx,C=\int_{a}^{b}g^2(x)dx\) >由积分式 >\[ \int_{a}^{b}(tf(x)-g(x))^2dx=At^2-2Bt+C \] >由于该积分值恒非负,所以有\(B^2 \leq AC\),得证
可积函数类
连续可积
有限间断点有界可积
单调可积
积分中值定理
积分第一中值定理
若\(f(x),g(x)\)都在\([a,b]\)上连续，且\(g(x)\)在\([a,b]\)上不变号，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\) ，使得\(\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(\xi )\int_{a}^{b}g(x),dx\)
积分第二中值定理
积分第三中值定理
微积分基本定理
变上限积分函数
概念
上线为自变量的积分对应的函数
性质
函数可积，对应的变上限积分函数连续
函数连续，对应的变上限积分函数可导
即积分具有磨光性
函数连续，则对应的变上限积分函数为函数的一个原函数
牛顿莱布尼茨公式
构建了微分与积分的关系，使得微积分从此成为一门完整的学科，标志着微积分的诞生
定积分的计算
换元积分法
分部积分法
观察一些性质，比如有中心对称性质的函数的积分，偶函数积分，奇函数在对称区间上的积分
第八章 定积分的应用
平面图形的面积
平面直角坐标系
普通直角坐标方程
根据具体情况具体分析，主要看多个曲线围成的面积的曲线交点，曲线边界，积分区间
第九章
第十章
本周心得
本周学习了数项级数，与上学期的数列级数有着很深的联系，对于一个数列来说，数列的级数相当于无穷项数列的前缀和（编程术语），而数列级数的前n项部分和就是数列的前n项前缀和，前n项部分和数列就是数列的前n项前缀和组成的数列，由于一般数列的前n项部分和没有统一表达式进行计算，没有研究的价值，所以数项级数选择了前n项部分和在趋向于无穷项时的极限值进行研究讨论，将前缀和与数列本身建立了一定的联系，由数列的敛散性定义了数项级数的敛散性，数列的极限定义了数项级数的和，数列极限的各种性质延申为了数项级数的各种性质，也发掘了一些属于数项级数的性质。 由于各项均为非负的数列的数项级数有良好的性质，于是另外定义了正项级数用于研究，并针对正项级数类比非负函数的广义积分进行了收敛性的讨论
本周心得
本周接着上周继续学习了一般项级数收敛性的判别，新学习了Abel引理、Dirichlet判别法、Abel判别法。
本节学习的引理定理与数分一的广义积分收敛性的判别有很高的相似性，通过类比可以发现两者之间很多共通的地方，另一个角度理解上可以认为，级数本身就是某一函数无穷区间上积分的一个估计值，两者之间相互联系
本周新开函数列与函数项级数,将原本定义在数列上的级数概念拓展到函数,数列拓展到函数列
本周心得
本周重点学习了函数列的极限、收敛性、收敛性判别、逐点收敛性、一致收敛性，学习了函数项级数的逐点收敛性、一致收敛性、极限
对于函数项级数收敛域的求取，可以直接将自变量作为参数转化为普通数项级数收敛性的分类讨论
函数列的逐点收敛性可以视作是自变量取值一定时得到的数列是否收敛的问题，一致收敛性则是考虑在收敛区间内是否所有的自变量取值对应的数列收敛速度有限而非存在无穷小的收敛速度的点
函数项级数的逐点收敛可以视作是自变量取值一定时得到的数项级数的收敛性问题，一致收敛性则是考虑在收敛区间内是否所有的自变量取值对应的数项级数收敛速度有限而非存在无穷小收敛速度的点
对于函数项级数一致收敛性的判别，本周也学习了多种方法，使用范围不一，要求强弱不一，可以灵活运用于不同情况
对于函数项级数的和函数，因为其作为函数本身的本质，可以继续研究和函数的连续性、一致连续性、可积性、可导性，以及于和函数的求取过程有关的，逐项可积性、逐项可导性，后两个性质于级数直接挂钩，对于函数积分和求导的理解更加深入
本周心得
本周继续学习了上周没有学完的一致收敛函数项级数的性质中的可导性，开始学习了一种新的级数-幂级数的相关概念、性质。
幂级数本身是一种相对特殊的函数项级数，因为其有良好的可应用的性质，将其单列出进行研究
幂级数的收敛区间具有一定的对称性，于是另外定义了收敛半径、收敛区间、收敛域，对于收敛区间，幂函数有天然的一致收敛性，天然有逐项可积可导性，对于收敛域，端点处的收敛情况可以比较简单的判断，于是发掘幂级数在端点处的性质
联系之前所学的泰勒展开泰勒近似，可以将部分函数展开为幂级数的形式，方便进行相应的运算
学习心得
本周学习了傅里叶级数，拓展了函数展开逼近的新思维，即将函数展开为一个由三角函数系生成的三角级数。
在计算傅里叶级数时，利用到了线性空间的有关思想，在函数空间或者说是三角函数系张成的空间中进行思考，得出求解傅里叶系数的方法
这章最大的难点或者说是易错点在于计算量大，需要对积分有足够的熟练度，耐心细心避免出错
总体题目非常套路没有很强的技巧性
对于傅里叶级数的有关性质，由于考纲不做要求，对此认识更加模糊，但是这些知识感觉更深入傅里叶级数的本质，或者说以一个函数的视角真正看待傅里叶级数
学习心得
本周学习了多元函数的相关内容，将通过线性空间的有关知识将函数拓展到了空间内，从传统的一元函数拓展为了n元，并对线性空间内的集合进行了有关讨论，定义了开集、闭集、内点、外点、聚点、边界点、导集、闭包、道路连通、区域、闭区域等概念， 概念非常抽象，不过很漂亮
学习心得
本周学习了多元函数的有关概念、性质、定理
学习过程中由于多元函数的研究方式与一元函数有很多共同点，学习时可以类比一元函数进行学习 类比一元函数微分和导数的概念，拓展为多元函数全微分和偏导数的概念，全我理解为是针对所有元，偏即为偏对一元，微分是一种对函数值的线性近似，所以对于多元的变化造成的函数值的变化需要有一个统一完整的近似，全微分即能涵盖与各元变化的相关性，而导数作为一种函数值变化速度的概念，需要有一定的方向性，由于方向的无限可能，研究导数时只选取最具概括性的几个，也即各元所在维度方向上的导数值（函数值变化速率）
由于多元函数导数研究上的局限性，又给出了一个新的概念即方向导数，概括的讲，方向导数就是对于方向具有个性化的一种导数，不受固定约束，偏导数可以看成是方向导数的某一对（两个方向）的特殊情况
与多元函数有些许差异的是向量值函数，多元函数是把空间中的一点映射为一个数，而向量值函数是把一个空间中的一点映射到另一个空间中的一点，函数值具有向量的性质
由于函数值具有向量的性质，那么反映函数值变化率的导数也应具有使得向量变化的性质，联系线性代数中的相关知识，线性映射或非线性映射可以对向量值进行改变，所以不难猜测向量值函数的导数是一种线性变换或非线性变化，也即变换的矩阵
学习心得
本周学习了多元函数的Taylor公式，将Taylor公式的适用范围拓展到了多元函数与向量值函数，学习了泰勒公式后对于函数的近似处理有了更广的处理范围
本周新开隐函数
隐函数作为一种函数的表达形式，具有抽象的特性，本周的学习内容教了我们未显性表达的函数的导数、偏导数的求解，以及作为前提条件的隐函数存在唯一性定理的证明与几何定性解释，学习了隐函数，对于很多抽象函数的处理能力有了提高，可处理的函数范围进一步拓宽。
学习心得
本周学习了隐函数的几何应用和多元函数极值问题与最值问题的求解
类比线性代数中的内容，每一个隐函数方程都可以确定空间中的一个几何图形，多个隐函数组成的隐函数方程组可以表示多个几何图形交得的几何图形
对于几何图形还可以使用参数方程进行表示
对于多种几何图形的不同表示方法，书上给出了针对不同表示方法的相关切线、法线、法平面、切平面的求解方法及其推导过程，针对隐函数尤其是隐函数方程组确定的几何图形某一点处的法向量坐标表达式的推导过程很有线代的美感
最后讲解了条件极值问题，拉格朗日乘子法用其巧妙新颖的思路，对于原本有限维的条件限制进行消解，得到高维下无限制条件的函数，对于无限制条件的函数，可以应用前几节所学的隐函数的计算方法对其极值最值进行讨论，并将极值点最值点计算结果依赖一定的理论推理应用到原函数下，实现对于原函数的条件极值最值问题的求解
学习心得
因病旷作业
学习心得
本周学习了二重积分的有关知识，将积分的认识范围拓展到了二元。
学习了二重积分的相关定理，从分割的角度理解了二重积分以及与之对应的累次积分的相关概念。 在二重积分的求解中，学习了积分换序、变量代换、几何意义求解等求解方法，便于我们更加方便地求解各种简单复杂和具有实际意义的二重积分。
本周学习的知识偏重应用与计算，需要有足够的耐心与细心，减少计算失误以及审题错误带来的积分求解错误。
二重积分的证明题主要存在于积分中值定理，证明较为容易。
最后扩展学习了反常二重积分的有关概念与定理，将二重积分的可求解范围拓展到了无界函数或无界区间。
学习心得
本周继续学习了重积分的相关知识，紧接上周的二重积分，本周继续学习了三重积分的计算与相关换元等计算技巧，并且将重积分的定义拓展到了多重积分
学习了重积分的许多应用实例，利用数学中的重积分来解决一些物理应用场景中的物体表面积、质量、质心、引力等的求解，使得物理相关的计算实例得以实现解决。
继续上周的重大计算量，三重积分依旧如此，计算难点在于定积分的计算，技巧性在于对于积分区域的判别划定，对于坐标系简化运算的合理选择，这些需要进一步训练才能熟练掌握。
学习心得
本周学习了曲线积分~
本周学习了有关曲线积分的相关知识~
学习了对于弧长的曲线积分，也即无方向的曲线积分，其本质是积分，积分变量由坐标变为了曲>线段，于是计算时可以将积分变量转化为我们所熟悉的坐标分量
对于坐标的曲线积分，也即有方向的曲线积分，其本质与无方向的曲线积分一样，积分变量变为>了有向曲线，被积函数变为了坐标，于是计算时通过矢量点乘的计算公式，转化为无方向的曲线>积分，进一步转化为普通的积分，即可进行计算
对于有方向与无方向的曲线积分进行了分别讨论，分类为第一类曲线积分与第二类曲线积分，同时又通过Green公式，使得第二类闭合曲线积分能够与二重积分建立转换联系
通过作辅助线的方式，将Green的计算使用范围拓展为了第二类曲线积分可不闭合
观察Green公式二重积分与曲线积分的形式，发现其转换有些类似于，将关于其中一个变量的函数值按该函数值于另一个变量的关系平摊给另一个变量，从而实现变为双变量的二重积分~
学习心得
学习了Green公式运用时会出现的积分与路径无关的问题，对于这类积分可以很好地利用其还路积分为0的特性排除奇点简化积分曲线进行积分运算
本周新开曲面积分，与曲线积分相同，曲面积分的积分变量由传统的两坐标分量的乘积形式变为以曲面为积分变量的形式
学习了Gauss公式、Stokes公式等方便曲面积分计算的方法
本章节在于计算，需要熟练计算积分，巧妙利用一些公式结论简化积分运算
学习心得
本周继续学习了曲面积分曲线积分的计算方法
Stokes公式将曲线积分转化为曲面积分
Gauss公式将曲面积分转化为三重积分
经过本周对积分进行了一定复习
发现积分的计算是统一的
积分变量决定是对什么量进行分割
于是确定是积分/重积分（对x,y,z等直角坐标分割），曲线积分（对曲线进行分割），曲面积分（对曲面进行分割）
被积函数决定分割得到的被积量的权值是什么
积分变量的个数决定是几重积分，几维空间上的积分。
积分的计算核心是对分割量的极限求和
对于所有的公式都可以使用几何直观理解进行统一，使用基本的几何计算方法就可以满足
对于一些沟通多重积分之间的公式，可以利用偏导数的概念，理解为是量的加权平分增加被积量进行统一。
数项级数
数项级数的收敛性
定义11.1.1 若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\)的部分和数列\({S_n}\)收敛到一个实数\(S\),即有\(\lim_{n \to \infty}S_n=S\) ,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛,并称\(S\)为级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\) 的和,并记作\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n=S\) .
定理11.1.1 若\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,则\(\lim_{n \to \infty}a_n=0\) .
定理11.1.2 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 和\(\Sigma_{n=1}^{\infty}b_n\) 收敛,则对任意实数\(\alpha, \beta\) ,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)\) 收敛
定理11.1.3 若级数收敛,则添加或删除有限项,级数仍然收敛.
定理11.1.4 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,把此级数的项任意组合,但不改变其先后次序,得到的新级数仍然收敛,且新级数和\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 有相同的级数和.
定理11.1.5 如果级数\((a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_{k_1})+(a_{k_1+1}+a_{k_1+2}+\cdot\cdot\cdot +a_{k_n})+\cdot\cdot\cdot\) ,这里\(k_1<k_2<\cdot\cdot\cdot<k_n<\cdot\cdot\cdot\) ,括号里的每一项符号一致,且收敛,则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛.
正项级数的敛散性
11.2.2正项级数的比较判别法
定理11.2.1 \(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 为正项级数,收敛的充分必要条件是它的部分和数列\({S_n}\) 有界.
定理11.2.2(比较判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}b_n\) 为正项级数,且\(a_n \leq b_n,n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot\) .
- 若\(\Sigma_{n-1}^{\infty}b_n\) 收敛,则\(\Sigma_{n-1}^{\infty}a_n\) 收敛;
- 若\(\Sigma_{n-1}^{\infty}a_n\) 发散,则\(\Sigma_{n-1}^{\infty}b_n\) 发散;
定理11.2.3(极限形式的比较判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)是两个正项级数,且有 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = l \] 那么
- 若\(l = 0\),则当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)收敛时,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 若\(l\)为正实数,则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)与\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)同收敛
- 若\(l\)为\(+\infty\),则当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)发散时,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散
11.2.3正项级数的根值判别法
定理11.2.4(Cauthy判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数.
- 若存在\(0<q<1\)以及正整数\(N\),使得对所有\(n>N\),都有\(\sqrt[n]{x_n}\leq q\)成立,则级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 若存在无穷多个\(n\),使得\(\sqrt[n]{x_n}\geq 1\)成立,则级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散
定理11.2.5(极限形式的Cauthy判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,\(q = \overline{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]x_n\),则有
- 当\(q<1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 当\(q>1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散
11.2.4正项级数的比值判别法
引理11.2.6 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)是两个正项级数,如果存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时, \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} \leq \frac{y_{n+1}}{y_n} \] 成立,那么
- 当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)收敛时,必有\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散时,必有\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)发散
定理11.2.7(d'Alembert判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数
- 若存在\(0<q<1\)以及正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,有\(\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq q\),则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 若存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,有\(\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq 1\),则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散
以几何级数作为比较对象
定理11.2.8(极限形式的d'Alembert判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,若\(q=lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\)存在,则
- 当\(q<1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
- 当\(q>1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散
11.2.5正项级数的积分判别法
定理11.2.9(积分判别法) 设\(f(x)\)是定义在\([1,+\infty)\)上的非负递减函数,则广义积分\(\int_{1}^{+\infty}f(x),dx\)与无穷级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}f(n)\)有相同的敛散性
11.2.6Raabe判别法和Bertrand判别法*
定理11.2.10(Raabe判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,且\(q=\lim_{n \to \infty}n(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1)\)存在,则有
- 当\(q > 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛;
- 当\(q < 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散.
以p-级数作为比较对象
定理11.2.11(Bertrand判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,且 \[ q=\lim_{n \to \infty}lnn[n(\frac{x_n}{x_{n-1}} - 1) - 1] \] 存在,则
- 当\(p > 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛;
- 当\(p < 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散.
以\(\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^p}\)作为比较对象
定理11.2.12 任给一个收敛的正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n(x_n>0,n=1,2,\cdots)\),都存在一个收敛的正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)使得 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=0 \]
这个定理说明,不存在一个完美的级数比较对象,能够保证比它大的都发散,比它小的都收敛
一般项级数的收敛性
11.3.1Cauthy收敛原理
定理11.3.1(Cauthy收敛原理) 级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛的充分必要条件是:任取\(\epsilon > 0\),都存在正整数\(N\)使得当\(m>n>N\)时,有 \[ |x_{n+1} + x_{n+2} + \cdots + x_m|=|\Sigma_{i=n+1}^{m}x_i|<\epsilon. \]
任取\(\epsilon > 0\),都存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,对任意正整数\(p\),都有 \[ |x_{n+1} + x_{n+2} + \cdots + x_{n+p}| = |\Sigma_{i = 1}^{p}x_{n+i}|<\epsilon \]
定理11.3.2 若级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_n|\)收敛,则必有级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛.
定义11.3.1(绝对收敛与条件收敛) 如果级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_n|\)收敛,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)绝对收敛.如果级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛但级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)条件收敛.
第12章 函数列与函数项级数
12.1 函数列与函数项级数的收敛性
12.1.1 函数项级数的逐点收敛性
设\(u_1(x),u_2(x)\cdots,u_n(x),\cdots\)都是定义在区间\(I\)上的函数，它们按照自然数顺序排列,称其为一个区间\(I\)上的函数序列，简称为函数列,记为\({u_n(x)}(n=1,2,\cdots)\).
类似于无穷级数的定义,给定区间\(I\)上的一个函数列\({u_n(x)}(n=1,2,\cdots)\)，可以写出“和式”\[ u_1(x)+u_2(x)+\dots+u_n(x)+\cdots \]将上述和式称为区间\(I\)上的一个函数项级数,记为\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\),其中\(u_n(x)\)称为函数项级数的通项或一般项.
给定区间\(I\)上的函数项级数,对任意的正整数\(n\),称 \[ S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x) \] 为级数的前\(n\)项的部分和.显然部分和序列\({S_n(x)}\)是区间\(I\)上的一个函数列.从数项级数的收敛性出发，可以给出如下函数项级数的逐点收敛性.
定义12.1.1 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)是区间\(I\)上的一个函数项级数.给定\(x_0\in I\),若数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)收敛,即极限\(\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0)\)存在,则称函数项级数在点\(x_0\)处收敛,或称\(x_0\)为函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的一个收敛点.若级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)发散，则称\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)在点\(x_0\)处发散，或称\(x_0\)为函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的一个发散点. 函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的收敛点的全体构成的集合称为该级数的收敛域.
设函数项级数的收敛域为D，则通过级数和可以定义D上的一个函数 \[ S(x)=\Sigma_{n=1}^{\infty}u(x),x\in D \] 称S(x)为级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u(x)\)的和函数.由于函数项级数的这种收敛性是逐点考虑的，因此称这种收敛性是逐点收敛性.
本章主要探讨函数项级数和函数\(S(x)\)的性质.首先要解决的问题是\(S(x)\)的定义域，实际上是求函数项级数的收敛域. 从收敛点的定义不难发现，求收敛域的问题本质上仍然是一个数项级数的敛散性的判别问题. 上一章中判断==数项级数敛散性的各种判别法==可以用于求函数项级数的收敛域.
例12.1.1 由数项级数的相关结论可知： （1）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x^n\)的收敛域为\((-1,1)\),和函数为\(S(x)=\frac{x}{1-x}\); （2）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\)的收敛域为\((0,+\infty)\),和函数为\(S(x)=\frac{1}{e^x-1}\); （3）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}\)的收敛域为\((1, +\infty)\); （4）函数项级数\(\Sigma_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^x}\)的收敛域为\((1,+\infty)\).
12.3一致收敛函数列与一致收敛函数项级数的分析性质
定理12.3.6(极限函数的可导性) 设函数\(S_n(x)(n=1,2,\cdots)\)都是\([a,b]\)上的可导函数，且有：
- \(S_n^{'}(x)\)在\([a,b]\)上连续；
- 函数序列\({S_n^{'}(x)}\)在\([a,b]\)上一致收敛到某个\(g(x)\)；
- 存在某个\(x_0\in[a,b]\)，使得\({S_n(x_0)}\)收敛， 则
第十三章 傅立叶级数
13.1 周期函数的Fourier
-
历史
傅立叶指出，任何周期函数都可以写为三角函数的级数
二、三角级数
1.三角级数
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)
2.两个函数的内积
设函数\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上可积，定义内积
\(<f(x),g(x)> =\int_a^bf(x)g(x),dx\)
定义13.1.1 正交
\(<f(x),g(x)> =\int_a^bf(x)g(x)dx =0\)
2.三角函数的正交性
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}=0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin{nx}=0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\sin{mx}=\)
三、函数的傅立叶级数
- 问题
- 若能展开\(a_n,b_n\)是什么？
- 展开的条件是什么？
1.傅立叶级数
若有\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)
定义13.1.2 傅立叶系数和傅立叶级数
设\(f(x)\)是以\(2\pi\) 为周期的函数
-
求\(a_0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})]dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}dx\=a_0\pi\)
-
求\(a_n\)
\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx,n=0,1,2,\cdots\)
\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx,n=1,2,\cdots\)
2.傅立叶级数
若f是以2\pi为周期的可积或绝对可积的函数，
\(f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)~
定义：
定理13.1.1
若\(f(x)\)以\(\pi\)为周期，在\([-\pi,\pi]\)上分段可微，那么\(f\)的傅立叶级数在每点\(x_0\)处收敛于
\(\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\)
-
综上
函数只要在区间上有一阶导数就能展开为傅立叶级数
13.1-2 傅立叶级数的展开
- 计算傅立叶系数
- 写出傅立叶级数
- 根据13.1.1Dini写出级数收敛情况（对于不连续点进行另外讨论）
二、正弦级数与余弦级数
1.奇函数和偶函数的傅立叶级数
- 周期为\(2\pi\)的奇函数的傅立叶级数仅含有\(sin\)项
- 周期为\(2\pi\)的偶函数仅含有\(cos\)项
2.函数展开成正弦级数或余弦级数
设\(f(x)\)定义在\([0,\pi]\)上，延拓成以\(2\pi\)为周期的函数\(F(x)\)
要有既方便又有实际收益的延拓
- 奇延拓 正弦级数
- 偶延拓 余弦级数
三、周期为\(2l\)的函数的傅立叶级数
通过换元（变量置换）和延拓将函数转变为周期为\(2\pi\)的函数，之后同理
\(\frac{\pi x}{l}=t或x=\frac{lt}{\pi}\)
可以把函数变换成以2pi为周期的t的函数
\(F(t)=f(\frac{lt}{\pi})\)
如果F(t)满足\(Dini\)定理的条件
\(F(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nt}+b_n\sin{nt})\)
换回x
\(a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}}dx\)
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin{\frac{n\pi x}{l}}})\)
13.1.1 周期为\(2\pi\)的函数的傅立叶级数
13.2 Fourier逐点收敛定理
定理13.2.1 Riemann-Lebesgue定理
若函数在区间上黎曼可积或绝对可积，则函数与\(cosnx/sinnx\)在该区间上的积分的极限为0
推论 傅立叶系数也相应极限为0
定理13.2.2
定理2 若\(f(x)\)可导，\(f’(x)\)黎曼可积或绝对可积，则有
\(a_n=o(\frac{1}{n}),b_n=o(\frac{1}{n})\)
证明：由分布积分法得
\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx=\frac{1}{\pi}[\frac{f(x)\sin{nx}}{n} \bigg\vert_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin{nx}dx]=-\frac{1}{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin{nx}dx=-\frac{1}{n}b'_n\)
又\(b'_n=o(1)\)
\(a_n=o(\frac{1}{n})\)
收敛定理
定理 Dini判别法
若\(f\)是以\(2\pi\)为周期，在\([-\pi,\pi]\)上可积或绝对可积的函数，对\(s\in R\)令
\(\theta(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s\)
如果存在\(\delta>0\)，使得函数\(\frac{\theta(t)}{t}\)可积，则函数f的傅立叶级数在x_0处收敛
定理 若\(f\)是以\(2\pi\)为周期，在以0为中心的\(\pi\)区间上可积，在点\(x_0\)处有导数或有两侧广义单侧导数，则\(f\)的傅立叶级数在\(x_0\)处收敛，若
\(\frac{f(x_0+t)}{t}和\frac{f(x_0-t)}{t}有极限存在\)
则傅立叶级数收敛于\(\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2}\)
13.4 Fourier级数补充
本节探讨傅立叶级数的分析性质
1.傅立叶级数逐项积分定理
若函数是以2\(\pi\)为周期的可积函数，则傅立叶级数逐项可积，傅立叶级数的逐项积分一定收敛于原函数的积分，即使原函数不收敛与傅立叶级数
2.傅立叶级数逐项微分定理
3.最佳逼近
傅立叶级数的平方逼近性质
函数在以0为中心\(\pi\)为半径的区间上可积则
第十四章 多元函数的极限与连续
14.1 Euclid空间的点集及基本概念
前置知识
记R为全体实数，定义集合
\(R^n={(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n):x_i\in R,i=1,2,3,\cdots,n}\)
称集合中的元素为向量或点
内积
\(<x,y>=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\)
定义了内积运算的空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间
- （正定性）
- （对称性）
- （线性性）
Cauthy-Schwarz不等式 \(<x,y>^2 \leq <x,x><y,y>\)
定义14.1.1 对n维Euclid空间\(R_n\)上的任意向量x，定义
\(||x||=\sqrt{<x,x>}\)
为向量x的范数（2-范数）
- 正定性
- 数乘性
- 三角不等式 \(||x+y||<||x||+||y||\)
向量x,y的夹角
\(\cos{\theta(x,y)=\frac{<x,y>}{||x||||y||}}\)
词向量
两向量之间的距离
\(||x-y||=\sqrt{<x-y,x-y>}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)
定义14.1.2 设\(\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in R^n,r>0\)集合
\(B_r(\vec{a})={\vec{x}\in R^n||\vec{x}-\vec{a}||<r}={\vec{x}\in R^n|\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2}<r}\)
为\(R^n\)中以a为中心r为半径的开球
定义14.1.3 设\({x_k}\)是\(R^n\)中的一个点列，若存在给定的点\(\vec{a}\in R^n\)，使得对任意给定的\(\epsilon > 0\)，都存在正整数\(K>0\)，使得对任意的\(k>K\)都有
\(||\vec{x_k}-\vec{a}||<\epsilon\)
则称点列\({x_k}\)收敛于veca，a称为点列的极限
若对于任意分量有
\(|x_i-a_i|<\epsilon\)
称x按分量收敛于a
定理14.1.1 \(\lim\limits_{k \to \infty}\vec{x_k}=\vec{a}\)的充分必要条件是\(\lim\limits_{k\to \infty}x_i=a_i(i=1,\cdots,n)\)
证明：
显然有不等式
\(|x_i^k-a_i|\leq||\vec{x_k}-\vec{a}||\leq\sum_{i=1}^{n}|x_i^k-a_i|,(i=1,\cdots,n)\)
定义14.1.4 基本列
定理14.1.2 柯西收敛定理
点列收敛的基本条件是点列为基本列
定义14.1.5 开集和闭集
设点集中的任意一点存在以该点为球心大于0的半径的开球在点集中，则该集合为开集
一个集合的补集若为开集则该集合为闭集
性质14.1.1
有限多个开集的交为开集，任意多个开集的并为开集
有限多闭集的并仍是闭集，任意多开集的交仍是闭集
定义14.1.6
对于一个点集，对于全集中的点若存在以其为中心的开球属于点集则该点为内点，若属于补集则该点为外点，若任意开球既包含点集又包含补集中的点，则该点为边界点
定义14.1.7
若以a为中心的空心球总有点集E中的点，则a为E的聚点
E中的点若不是聚点，则是孤立点
定义14.1.8 导集和闭包
所有聚点的集合称为导集，点集和导集的并集为点集的闭包
定理14.1.3 点集为闭集当且仅当导集属于点集
定理14.1.4 集合E为闭集当且仅当E中任何收敛点列的极限仍在E中
定义14.1.9 道路连通
点集中的任意两点，存在点集中的一条连续曲线/连续映射，将两点连起来
如果一个映射的各分量映射都连续，则称该映射为连续映射，它的像为连续曲线
定义14.1.10 区域
道路连通的开集称为（开）区域，区域的闭包称为闭区域
14.2 欧几里得空间的基本定理
定理14.1.2 柯西收敛定理
定理14.2.1 闭集套定理diamE=sup直径
定理14.2.2 列紧性定理Bolzano-Weierstrass定理 有界单列必有收敛子列
定义14.2.1 开覆盖
如果全集中一组开集的并集覆盖点集则这组开集的集合为点集的一个开覆盖
如果存在有限开集覆盖点集则点集为紧致集
定理14.2.3 在欧几里得空间中的点集，下列等价
- 点集为紧致集
- 点集中任何无穷点列有收敛子列且极限在点集中
14.3 多元函数的极限与连续
定义14.3.1 属于n维欧几里得空间的点集，D到R的映射称为n元函数
D定义域 f（D）值域
对于定义在Ｒ2中的二元函数我们常记为f(x,y)
定义14.3.2 重极限
定义14.3.3
对于每一个固定的y不等于y0，二元函数趋向x0的极限都存在，得到一个关于y的函数，得到的函数趋向y0的极限存在，则称为函数先对x后对y的累次极限
重极限与累次极限不一样！！！
分母次方不对称重极限往往不存在
求重极限可以巧妙运用换元（三角换元（圆（涵盖任意种趋近路径
累次极限的第一个过程与重极限无关，第二个过程为重极限的一种特殊情况
定理14.3.2 若一个二元函数的二重极限和两个累次极限都存在，则必然会有三个极限相等
证明：
设\(\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A\)，所以对\(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0\)当\(0<||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta\)时，有
-
衍生
如果两个累次极限存在但不相等，则重极限一定不存在
定义14.3.4 如果一个聚点，当自变量趋向聚点时的极限值就是聚点处的函数值，则函数在该聚点连续，对于孤立点，我们也约定函数在该点连续
函数在定义域上的不连续点称为间断点
如果函数在其定义域上每一点都连续，则称函数在定义域上连续，或称函数是其定义域上的连续函数
14.4 多元函数连续的性质
定义14.4.1 对任意epsilon存在delta使得当两点距离小于delta时函数值差距小于epsilon
定义14.4.2 映射将n维内某一欧几里得空间中的点映射到n维空间中另外一个欧几里得空间中的点，若当原像趋向某点时，像也无限趋向对应点的像，则该映射在对应点连续，若该映射在定义域空间中每一点都连续，则称该映射为定义域空间上的连续映射
-
Thinking
Matrix范数
定理14.4.1 一个映射是连续的的充分必要条件是映射的每一个分量都是连续函数，在相同定义域内。
定理14.4.2 对于一个映射，下列条件等价：
- 映射是连续映射
- 收敛点列的函数值列收敛到收敛点极限函数值
- 开集中点的原集是开集
定理14.4.3 连续映射将紧致集映射成紧致集（有界闭集）
证明：开覆盖逆像
定理14.4.4 有限闭区间上的连续函数
- 有界
- 最值可取
- 一致连续性
定理14.4.6 连续映射把道路连通的集合映射为道路连通的集合
定理14.4.7 有界闭区间上的连续函数的介值性
多元函数性质
四则运算、复合函数连续性、保号性，局部有界性
第十五章 多元函数微分学
15.1 全微分与偏导数
15.1.1 多元函数的全微分与偏导数
定义15.1.1 定义域中的点的领域内的点到该点的各分量差绝对值的线形近似可以趋近两点对应函数值的差的绝对值，则称该多元函数在该点可微，线性主要部分为函数的全微分，有时也称微分
定义15.1.2 偏导数
在定义域中给定的一点x_0,极限
\(\lim\limits_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1,\cdots,x_i+\Delta x_i,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}\)
存在，则称函数在该点处关于x_i可偏导，极限为函数在该点处关于该分量的偏导数，记为
\(f_{x_i}(\vec{x_0})或\)
如果函数在定义域上处处可偏导，则关于定义域上某点映射到该点的偏导数的函数是原函数的偏导函数，简称偏导数
定义15.1.3 梯度
以某点处关于各分量的偏导数为分量的向量为函数在该点的梯度，记为\(grad f(\vec{x_0})\)（向量值函数）
定义15.1.4 方向导数
以一个向量为给定的方向，以该方向上的变化量为变化量求函数值关于变化系数的变化率（右导数）极限值，称为函数在某点处沿给定方向的方向导数
15.1.2 二元函数的偏导数与微分
几何意义：三维曲面关于某轴平面截曲线的切线斜率
？？？
多元函数各偏导数存在不保证全微分存在
充分条件：各偏导数连续则可微
15.1.3 方向导数
定义15.1.4
15.2 多变量函数的求导
15.2.1 向量值函数的微分
定义15.2.1 设\(f(\vec{x})\)为向量值函数，点\(\vec{x_0}=(x_1,\cdots,x_n)\in D\)。如果存在\(m\times n\)阶矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，使得对于D中\(\vec{x_0}\)附近的点\(\vec{x}=\vec{x_0}+\Delta \vec{x}\)有
\[ f(\vec{x})-f(\vec{x_0})=A\Delta{\vec{x}}+r(\Delta \vec{x}),\lim\limits{|x|}\frac{|r(\Delta\vec{x})|}{|\Delta\vec{x}|}=0 \]
则称向量值函数在给定点处可微，并称线性映射\(A\Delta\vec{x}\)为\(f(\vec{x})\)在\(\vec{x_0}\)处的微分。同样的，将\(d\vec{x}\)表示自变量的增量\(\Delta \vec{x}\)，将微分记作
\[ df(\vec{x_0})=Ad\vec{x} \]
定理15.2.1 向量值函数\(f(\vec{x})\)在点\(\vec{x_0}=(x_1,\cdots,x_n)\)可微的充分必要条件是它的分量函数
15.2.2 复合函数求导的链式法则
定理15.2.3 设开集\(E\subset R^l\),开集\(D\subset R^m\)，映射\(f:D\rightarrow R^n\)，记复合映射
15.3 高阶偏导数、中值定理及Taylor公式
15.3.1 高阶偏导数
函数\(z=f(x,y)\)的二阶偏导数为
\[ \frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{\partial f}{\partial x_i})=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j} \]
定理 如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续则两个二阶混合偏导数必相等
15.3.2 中值定理
设\(\vec p,\vec q\subset R^n\)，令
\[ \sigma(t)=\vec{p}+t(\vec q - \vec p),t\in[0,1],\sigma:[0,1]\rightarrow R^n \]
的像为\(R^n\)中连接 的直线段
定义15.3.1 凸区域 设\(D \subset R^n\)是区域，若连接\(D\)中任意两点的直线段都完全属于\(D\)中，则称\(D\)为凸区域
定理15.3.2 设\(D\subset R^n\)是凸区域，\(f:D\rightarrow R^n\)可微，则对\(\forall \vec{a},\vec{b}\in D\)，\(\exists \vec\xi\in D\)使得
\[ f(\vec{b})-f(\vec{a})=Jf(\vec{\xi})(\vec{b}-\vec{a}) \]
其中\(\vec{\xi}=\vec{a}+\theta(\vec{b}-\vec{a}),\theta\in(0,1),\)是连接ab的直线段上的一点
15.3.3 Taylor公式
定理15.3.4 设n,k是两个正整数，则
\[ (x_1+x_2+\cdots+x_n)^k=\sum_{\alpha_1+\cdots+\alpha_n=k}\frac{k!}{\alpha_1!\cdots\alpha_n!}x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
其中\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)为非负整数。
设\(\vec{\alpha}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)为一个多重指标，记
\[ |\vec{\alpha}|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n,\vec{\alpha}!=\alpha_1!\cdots\alpha_n! \]
则记\(\vec{x}^{\vec{\alpha}}=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\).
将高阶偏导数记作
\[ D^{\alpha}f(\vec{x})=\frac{\partial^{|\vec{\alpha}|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}(\vec{x}) \]
定理15.3.5 设\(D \subset R^n\)是凸区域，\(f:D \rightarrow R\)具有\(m+1\)阶连续偏导数，\(\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in D\)，则任给\(\vec{x} \in D,\exists \theta \in (0,1)\)使得
\[ f(\vec{x})=\sum_{k=0}^{m} \sum_{|\vec{\alpha}|=k} \frac{D^{\vec{\alpha}}f(\vec{a})}{\vec{\alpha}!}(\vec{x}-\vec{a})^{\alpha}+R_m \]
其中
\[ R_m=\sum_{|\vec{\alpha}|=m+1}\frac{D^{\alpha}f(\vec{a}+\theta(\vec{x}-\vec{a}))}{\vec{\alpha}!}(\vec{x}-\vec{a})^{\alpha} \]
Taylor公式前三项： \[ f(\vec{a})+Jf(\vec{a})(\vec{x}-\vec{a})+\frac{1}{2}(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)\begin{bmatrix}&\frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_1^2} &\cdots & \frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_1x_n}\\&\cdots &\cdots &\cdots\\ &\frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_nx_1} &\cdots & \frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1-a_1&\\x_2-a_2&\\cdots&\\x_n-a_n&\end{pmatrix} \]
15.4 隐函数
定义 隐函数是指自变量和因变量混合在一起，用方程\(F(x,y)=0\)表示y与x之间的函数关系的函数形式
隐函数定理
定理1 隐函数存在唯一性定理
若隐函数满足，函数在以一点为内点的某一区域上连续，函数在该内点函数值为0，在区域内存在连续关于y的偏导数，关于y的偏导数在该内点处不为0
定理15.4.1 设开集\(D\subset R^2,F:D\rightarrow R\)满足：
- \(F(x,y)\)连续且具有连续偏导数；
- 在点\((x_0,y_0)\)处有\(F(x_0,y_0)=0\)；
- \(F_y(x_0,y_0)\neq 0\)
则\(D\)中存在一个包含\((x_0,y_0)\)的开矩形\(I\times J\)使得
-
对于每一个\(x \in I = {x||x-x_0| < \alpha}\)，都存在唯一的\(y=f(x)\in J\)满足\(F(x,f(x))=0\)和\(y_0=f(x_0)\)；
-
函数\(y=f(x)\)在\(x\in I\)上连续；
-
函数\(y=f(x)\)在\(x\in I\)上具有连续的导数，且
\[ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \]
证明:
不妨设\(F_y(x_0,y_0)>0\)。根据条件1和连续函数的局部保号性知，\(D\)中存在一个包含\((x_0,y_0)\)的开矩形\((a,b)\times (c,d)\)，使得在这一矩形中的任意点\((x,y)\)都有\(F_y(x,y)>0\)成立。
因为对给定的\(x\in (a,b)，F(x,y)\)关于y在区间\([c,d]\)严格单调递增.由条件2可得
\(F(x_0,c)<0,F(x_0,d)>0\)
在\((x_0,c),(x_0,d)\)两点根据连续函数的局部保号性知，存在\(I={x||x-x_0|<\alpha}\)，使得对\(\forall x\in I\)都有\(F(x,c)<0,F(x,d)>0\)
由连续函数零点存在定理和严格单调性知，对\(\forall x\in I\)，都存在唯一的一个数\(y\in(c,d)\)使得\(F(x,y)=0\)。显然有\(F(x_0,y_0)=0\)，记\(y=f(x),J=(c,d)\)，得结论a
下证函数的连续性
对\(\forall\overline{x}\in I,\overline{y}=f(\overline{x})\).对\(\forall \varepsilon>0\)，根据上面的分析知
\(F(\overline{x},\overline{y})=0,F(\overline{x},\overline{y}-\varepsilon)<0,F(\overline{x},\overline{y}+\varepsilon)>0\)
在点\((\overline{x},\overline{y}-\varepsilon),(\overline{x},\overline{y}+\varepsilon)\)处，根据连续函数的局部保号性知，\(\exists \delta>0,\)对\(\forall x,|x-\overline{x}|<\delta\)有\(F(x,\overline{y}-\varepsilon)<0,F(x,\overline{y}+\varepsilon)>0\)
所以当\(|x-\overline{x}|<\delta\)时，必存在唯一\(f(x)\in(\overline{y}-\varepsilon,\overline{y}+\varepsilon)\)使得\(F(x,f(x))=0\)，即\(|f(x)-f(\overline{x})|<\varepsilon\)，所以连续