第五章 泰勒公式

Taylor公式

泰勒公式的推导

由微分的定义可知,如果函数\(f(x)\)在点\(x_0\)可导,则在点\(x_0\)附近有 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)(x \rightarrow x_0) \] 也即在点\(x_0\)附近函数\(f(x)\)可用一次多项式\(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\)近似,我们接下来讨论用二次多项式近似函数\(f(x)\)的情况

假设函数\(f(x)\)能被一个二次多项式\(a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2\)逼近,且其逼近的误差\(R_2(x)=f(x)-[a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2]\)在\(x \rightarrow x_0\)时是\((x-x_0)^2\)的高阶无穷小量,即有 \[ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0). \] 成立.令该式中\(x \rightarrow x_0\),由函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续可得 \[ f(x_0)=lim_{x \to x_0}f(x)=a_0 \] 将\(a_0=f(x_0)\)代入原式并做简单变形可得 \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a_1+a_2(x-x_0)+o(x-x_0) \] 在上式中令\(x \rightarrow x_0\),由\(f(x)\)在\(x_0\)处可导可得 \[ f'(x_0)=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a_1 \] 将\(a_1=f'(x_0)\)代入原式并做简单变形得 \[ \frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=a_2+o(1) \] 在上式中令\(x \rightarrow x_0\),运用L'Hospital法则以及函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数可得 \[ a_2=lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}=\frac{f''(x_0)}{2} \] 所以如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有二阶导数且有 \[ f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0). \] 那么就有 \[ a_0=f(x_0),a_1=f'(x_0),a_2=f''(x_0) \] 反过来,如果只假设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数,设 \[ R_2(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2] \] 使用L'Hospital法则,以及函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有二阶导数的条件,就有 \[ \begin{multline*} lim_{x \to x_0}\frac{R_2(x)}{(x-x_0)^2}=lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)}{2(x-x_0)}\\ =lim_{x \to x_0}[\frac{f'(x)-f'(x_0)}{2(x-x_0)}-\frac{f''(x_0)}{2}]=0 \end{multline*} \] 所以只要有函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有二阶导数,就有 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)(x \rightarrow x_0) \] 成立.

一般地,若函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有n阶导数,那么上述定理就可以推广为带Peano余项的泰勒定理

带Peano余项的泰勒定理

定理5.2.1(带Peano余项的泰勒定理)

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处有n阶导数,则存在一个\(x_0\)领域,对该领域内的任意一点\(x\)有 \[ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)(x \rightarrow x_0). \] 通常记 \[ \begin{gather*} T_n(f,x_0;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,\\ R_n(x)=f(x)-T_n(f,x_0;x). \end{gather*} \] 其中\(R_n(x)\)称为余项.定理中式子说的是\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\).一般称该定理中的式子为带Peano余项的Taylor公式,它的前n+1项组成的多项式 \[ T_n(f,x_0;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \] 称为\(f(x)\)在\(x_0\)处的n阶Taylor多项式. \(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)这种形式的余项称为Peano余项

定理表明,当\(x\)趋向于\(x_0\)时,用\(T_n(f,x_0;x)\)近似代替函数\(f(x)\)产生的误差是\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小.这反映了函数\(f(x)\)在\(x_0\)附近表现出的局部性质,于是也称带Peano余项的泰勒公式为局部Taylor公式

特别地,取\(x_0=0\)时得到的Taylor公式称为Maclaurin(麦克劳林)公式,此时即有 \[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n). \]

常见函数的Maclaurin麦克劳林公式
  1. \(e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}+o(x^n)\)
  2. \(sinx=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})\)
  3. \(cosx=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{2k!}+o(x^{2n+1})\)
  4. \(ln(1+x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n)\)
  5. \(ln(1-x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^k}{k}+o(x^n)\)
  6. \(\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}x^k+o(x^n)\)
  7. \(\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}{n}x^k+o(x^n)\)
  8. \((1+x)^{\lambda}(x>-1)=\sum_{k=0}^{n}C_{\lambda}^{k}x^k+o(x^n)\)

在求第5、7个公式时,我们可以选择使用间接法求泰勒公式,因为泰勒公式具有唯一性,所以用间接法类似换元求出的泰勒公式一定是相应函数的泰勒公式,这样有时可以极大减小计算量,像直接通过定理求导得出泰勒公式的方法我们叫作直接法

另外,在求一些特殊函数如反三角函数的泰勒公式时,还可以应用泰勒公式与导数的泰勒公式的关系来求,也即,函数导数的泰勒展开式是原函数泰勒展开式的导数

定理5.2.2

设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有k阶导数,且有 \[ f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{(k-1)}(x_0)=0,f^{(k)}(x_0)\neq 0 \] 那么

  1. 当k为偶数时:若\(f^{(k)}(x_0)>0\),则\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极小值点;若\(f^{(k)}(x_0)<0\),则\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极大值点.
  2. 当k为奇数时:\(x_0\)不是函数\(f(x)\)的极值点.

由带Peano余项的泰勒公式知 \[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^k)(x \rightarrow x_0) \] 上式化为 \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}+o(1)(x \rightarrow x_0) \] 那么有:

  1. 当k为偶数时:若\(f^{(k)}(x_0)>0\),则在\(x_0\)的一个领域内有\(f(x)-f(x_0)>0\)恒成立,也即\(x_0\)为函数\(f(x)\)的极小值点;若\(f^{(k)}(x_0)<0\),则在\(x_0\)的一个领域内有\(f(x)-f(x_0)<0\)恒成立,也即\(x_0\)为函数\(f(x)\)的极大值点.
  2. 当k为奇数时:不论\(f^{(k)}(x_0)\)为何值,都有\(f(x)-f(x_0)\)在\(x_0\)两侧异号,\(x_0\)不是函数\(f(x)\)的极值点

带Lagrange余项的Taylor定理

定理5.2.3(带Lagrange余项的Taylor定理)

设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上有连续的\(n\)阶导数，在开区间\((a,b)\)上有\(n+1\)阶导数，则对任意\(x_0,x\in [a,b]\),存在\(\theta \in (0,1)\),使得 \[ f(x)=T_n(f,x_0;x)+\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. \]

常见函数的带Lagrange余项的Maclaurin公式的余项
  1. \(e^x=\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}(x \in R)\)
  2. \(sinx=(-1)^n\frac{cos(\theta x)}{(2n+1)!}x^{2n+1}(x \in R)\)
  3. \(cosx=(-1)^{n+1}\frac{cos(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}(x \in R)\)
  4. \((1+x)^{\lambda}=C_{\lambda}^{n+1}x^{n+1}(1+\theta x)^{\lambda -n-1}(x \in (-1,1))\)
  5. \(ln(1+x)=\frac{(-1)^n}{n+1}\frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}}(x \in (-1,1))\) 其中\(\theta \in (0,1)\).