数项级数

数项级数的收敛性

定义11.1.1 若级数\(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\)的部分和数列\({S_n}\)收敛到一个实数\(S\),即有\(\lim_{n \to \infty}S_n=S\) ,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\) 收敛,并称\(S\)为级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\) 的和,并记作\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n=S\) .

定理11.1.1 若\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,则\(\lim_{n \to \infty}a_n=0\) .

定理11.1.2 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 和\(\Sigma_{n=1}^{\infty}b_n\) 收敛,则对任意实数\(\alpha, \beta\) ,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)\) 收敛

定理11.1.3 若级数收敛,则添加或删除有限项,级数仍然收敛.

定理11.1.4 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,把此级数的项任意组合,但不改变其先后次序,得到的新级数仍然收敛,且新级数和\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 有相同的级数和.

定理11.1.5 如果级数\((a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_{k_1})+(a_{k_1+1}+a_{k_1+2}+\cdot\cdot\cdot +a_{k_n})+\cdot\cdot\cdot\) ,这里\(k_1<k_2<\cdot\cdot\cdot<k_n<\cdot\cdot\cdot\) ,括号里的每一项符号一致,且收敛,则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛.

正项级数的敛散性

11.2.2正项级数的比较判别法

定理11.2.1 \(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n\) 为正项级数,收敛的充分必要条件是它的部分和数列\({S_n}\) 有界.

定理11.2.2(比较判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}a_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}b_n\) 为正项级数,且\(a_n \leq b_n,n=1,2,3,\cdot\cdot\cdot\) .

  1. 若\(\Sigma_{n-1}^{\infty}b_n\) 收敛,则\(\Sigma_{n-1}^{\infty}a_n\) 收敛;
  2. 若\(\Sigma_{n-1}^{\infty}a_n\) 发散,则\(\Sigma_{n-1}^{\infty}b_n\) 发散;

定理11.2.3(极限形式的比较判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)是两个正项级数,且有 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = l \] 那么

  1. 若\(l = 0\),则当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)收敛时,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 若\(l\)为正实数,则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)与\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)同收敛
  3. 若\(l\)为\(+\infty\),则当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)发散时,\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散

11.2.3正项级数的根值判别法

定理11.2.4(Cauthy判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数.

  1. 若存在\(0<q<1\)以及正整数\(N\),使得对所有\(n>N\),都有\(\sqrt[n]{x_n}\leq q\)成立,则级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 若存在无穷多个\(n\),使得\(\sqrt[n]{x_n}\geq 1\)成立,则级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散

定理11.2.5(极限形式的Cauthy判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,\(q = \overline{\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]x_n\),则有

  1. 当\(q<1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 当\(q>1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散

11.2.4正项级数的比值判别法

引理11.2.6 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n,\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)是两个正项级数,如果存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时, \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} \leq \frac{y_{n+1}}{y_n} \] 成立,那么

  1. 当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)收敛时,必有\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 当\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散时,必有\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)发散

定理11.2.7(d'Alembert判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数

  1. 若存在\(0<q<1\)以及正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,有\(\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq q\),则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 若存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,有\(\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq 1\),则\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散

以几何级数作为比较对象

定理11.2.8(极限形式的d'Alembert判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,若\(q=lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\)存在,则

  1. 当\(q<1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛
  2. 当\(q>1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散

11.2.5正项级数的积分判别法

定理11.2.9(积分判别法) 设\(f(x)\)是定义在\([1,+\infty)\)上的非负递减函数,则广义积分\(\int_{1}^{+\infty}f(x),dx\)与无穷级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}f(n)\)有相同的敛散性

11.2.6Raabe判别法和Bertrand判别法*

定理11.2.10(Raabe判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,且\(q=\lim_{n \to \infty}n(\frac{x_n}{x_{n+1}} - 1)\)存在,则有

  1. 当\(q > 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛;
  2. 当\(q < 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散.

以p-级数作为比较对象

定理11.2.11(Bertrand判别法) 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)是正项级数,且 \[ q=\lim_{n \to \infty}lnn[n(\frac{x_n}{x_{n-1}} - 1) - 1] \] 存在,则

  1. 当\(p > 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛;
  2. 当\(p < 1\)时,级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散.

以\(\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^p}\)作为比较对象

定理11.2.12 任给一个收敛的正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n(x_n>0,n=1,2,\cdots)\),都存在一个收敛的正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}y_n\)使得 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=0 \]

这个定理说明,不存在一个完美的级数比较对象,能够保证比它大的都发散,比它小的都收敛

一般项级数的收敛性

11.3.1Cauthy收敛原理

定理11.3.1(Cauthy收敛原理) 级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛的充分必要条件是:任取\(\epsilon > 0\),都存在正整数\(N\)使得当\(m>n>N\)时,有 \[ |x_{n+1} + x_{n+2} + \cdots + x_m|=|\Sigma_{i=n+1}^{m}x_i|<\epsilon. \]

任取\(\epsilon > 0\),都存在正整数\(N\),使得当\(n>N\)时,对任意正整数\(p\),都有 \[ |x_{n+1} + x_{n+2} + \cdots + x_{n+p}| = |\Sigma_{i = 1}^{p}x_{n+i}|<\epsilon \]

定理11.3.2 若级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_n|\)收敛,则必有级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛.

定义11.3.1(绝对收敛与条件收敛) 如果级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}|x_n|\)收敛,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)绝对收敛.如果级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛但级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)发散,则称级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x_n\)条件收敛.