第十七周学习心得

常微分方程

微分方程的基本概念

定义10.1.1

一个描述了自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）之间关系的等式，称为微分方程，如果这样的等式有多个，则称之为微分方程组

常微分方程：自变量只有一个；偏微分方程：函数自变量有两个及以上，相应的导数称为偏导数，含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

定义10.1.3

考虑n阶常微分方程。若函数\(y=f(x)\)在区间\(I\)有直到n阶的导数,且将函数\(y=f(x)\)代入方程时等式恒成立,则称\(y=f(x)\)是区间\(I\)上的微分方程的一个解

显示解:用显示表达来表示的方程的解称为显示解; 隐式解:由方程\(\varphi (x,y)\)所确定的隐函数来表示的解

微分方程的解往往不是唯一的,微分方程的阶数等于微分方程通解中出现的任意常数的个数

定义10.1.4

对于n阶常微分方程,如果微分方程的解的表达式中含有n个独立的任意常数,则称这样的解为微分方程的通解.如果一个解的表达式中不含任意常数,则称这个解为微分方程的特解

显然在一个通解中确定了任意常数的取值之后就能得到特解.但是通解不一定是微分方程的所有解,一般情况下是

为了确定n阶常微分方程的特解而给出的附加条件称为定解条件,求方程的满足定解条件的特解的问题称为定解问题.对n阶常微分方程而言,在实际问题中最常用的定解条件是初值条件: \[y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0,...,y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0\] 上述初值条件与方程联立的问题称为初值问题,也叫Cauthy问题

积分曲线:微分方程的解的图形曲线称为这一微分方程的积分曲线 积分曲线簇:微分方程的通解的图形对应的一族曲线

一阶微分方程的解法

初等积分法:把微分方程的求解问题转化为积分问题

这几类方程为:变量分离方程,齐次方程,一阶线性微分方程和伯努利方程

变量分离方程

变量分离方程:形如 \[\frac{dy}{dx}=\frac{X(x)}{Y(y)}\] 的微分方程称为变量分离方程

变量分离法:将一个微分方程化为如上变量分离方程的方法

使用微分运算,方程可化为 \[Y(y)dy=X(x)dx,\] 由不定积分的换元积分法,这时在上式两边分别求不定积分可得等式 \[\int Y(y)dy=\int X(x)dx + C\] 这就得到了微分方程的解应满足的条件

齐次方程

齐次方程:形如 \[\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\] 的常微分方程,其中f是一个区间上的连续函数

对于齐次方程,可以通过变量代换\(u=\frac{y}{x}\)将其化为变量分离方程.因为\(y=ux\),两边对x同时求导得 \[\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\] 将上式代入方程得 \[u+x\frac{du}{dx}=f(u)\] 如下分离变量: \[\frac{du}{f(u)-u}=\frac{1}{x}dx\] 两边积分后得到关于函数u的解,再用\(u=\frac{y}{x}\)代入,得到方程的解

可化为齐次方程的一阶微分方程: 讨论形如 \[\frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{mx+ny+l})\] 的方程的解法.这里的a,b,c,m,n,l均为常数

当行列式 \[ \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ m & n \end{array} \right| =an-bm\neq0 \] 这时可令 \[X=x-h,y=y-k\] 其中h,k满足方程组 \[ \begin{cases} ah+bk+c=0,\\ mh+nk+l=0 \end{cases} \] 则有 \[ aX+bY=ax+by+c,mX+nY=mx+ny+l \] 再由\(dY=dy,dX=dx\),可将原方程化为齐次方程： \[ \frac{dY}{dX}=f(\frac{aX+bY}{mX+nY})=f(\frac{a+b\frac{Y}{X}}{m+n\frac{Y}{X}}), \] 通过齐次方程的求解方法即可把解解出,记得换回原变量
当行列式 \[ \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ m & n \end{array} \right| =an-bm=0 \] 时,

此时若\(a=0,b\neq 0\)则不难得到\(m=0\),方程即 \[ \frac{dy}{dx}=f(\frac{by+c}{ny+l}) \] 这是个变量分离方程,用变量分离方程的解法求解即可
当\(a\neq 0,b=0\)时,有\(n=0\),这时方程也是一个变量分离方程
当\(a\neq 0,b\neq 0\)时,此时存在\(\lambda\),使得\(m=\lambda a,n=\lambda b\),则方程有形式 \[ \frac{dy}{dx}=f(\frac{ax+by+c}{\lambda (ax+by)+l}) \] 做代换\(u=ax+by\),则方程化为 \[ b^{-1}\frac{du}{dx}-\frac{a}{b}=f(\frac{u+c}{\lambda u+l}), \] 这也是个变量分离方程,可通过变量分离方程的解法求解
当\(m\neq 0,n\neq 0\)时,可令\(u=mx+ny\),同样也可以化为变量分离方程求解

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程: \[ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) \]

当上式中的\(q(x)=0\)时,称该方程为齐次的一阶线性微分方程
当\(q(x)\neq 0\)时,称该方程为非齐次的一阶线性微分方程

齐次线性微分方程: 是一个分离变量方程,可化为 \[ \frac{dy}{y}=-p(x)dx, \] 两边求积分得 \[ ln|y|=-\int p(x),dx+lnC_1, \] 因此通解为 \[ y=Ce^{-\int p(x),dx}, \] 这里用\(\int p(x),dx\)表示\(p(x)\)的一个原函数

非齐次一阶线性微分方程: （常数变易法）设方程有形如 \[ y=C(x)e^{-\int p(x),dx} \] 的解,则由 \[ y'=C'(x)e^{-\int p(x),dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}. \] 代入方程可得 \[ y'=C'(x)e^{-\int p(x),dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x),dx}=q(x) \] 要使\(y=C(x)e^{-\int p(x),dx}\)是方程的解,只需 \[ C'(x)=q(x)e^{\int p(x),dx}. \] 因此取 \[ C(x)=\int q(x)e^{\int p(x),dx},dx+C. \] 可得通解为 \[ y=e^{-\int p(x),dx}[\int q(x)e^{\int p(x),dx},dx+C]. \]

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程: \[ \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n, \] 其中\(p(x),q(x)\)为连续函数.当\(n=0\)或\(n=1\)时,上述方程为一阶线性微分方程,因此下面假设\(n\neq 0,1\).

通过变量代换将方程化为一阶线性微分方程求解,在方程两边同乘以\(y^{-n}\)可得 \[ y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x), \] 化为 \[ \frac{d}{dx}y^{1-n}+(1-n)p(x)y^{1-n}=(1-n)q(x). \] 令\(u=y^{1-n}\),则方程化为 \[ \frac{du}{dx}+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x) \] 为一阶线性微分方程

上述几种特殊类型的常微分方程的解法,特别是在变量分离方程和一阶线性微分方程的解法的基础上,可以对一些方程经过适当的变换进行求解

二阶常系数线性微分方程的解法

二阶线性微分方程解的结构

n阶线性微分方程: \[ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x), \]

齐次线性微分方程:当\(f(x)=0\)时
非齐次线性微分方程:当\(f(x)\)不恒为0时
常系数线性微分方程:当\(a_i(x)\)为常值函数时

定理10.3.1

若\(y_1(x),y_2(x)\)是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解,则\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)为该方程的通解,其中\(C_1,C_2\)为任意常数.

性质10.3.1

若\(y=Y(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则\(y=Y(x)+y^* (x)\)也是该方程的解

性质10.3.2

若\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)都是二阶线性微分方程的解,那么\(y=y_1(x)-y_2(x)\)是该方程对应的二阶齐次线性微分方程的解

定理10.3.2

若\(y=Y(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则\(y=Y(x)+y^* (x)\)是该方程的通解

联系之前的结论,可得若\(y_1(x),y_2(x)\)是二阶线性微分方程对应的二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解,\(y=y^* (x)\)为该方程的特解,则该方程的通解为\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^* (x)\) ,其中\(C_1,C_2\)为任意常数

定理10.3.3

设函数\(y=y_1(x),y=y_2(x)\)分别是非齐次线性微分方程 \[ \begin{gather*} y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x);\\ y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x); \end{gather*} \] 的特解,则\(y=y_1(x)+y_2(x)\)为 \[ y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x) \] 的一个特解

二阶常系数线性齐次微分方程的解法

对于二阶线性非齐次微分方程 \[ y''+py'+qy=f(x) \] 先求对应二阶齐次线性微分方程 \[ y''+py'+qy=0 \] 的解

观察到,解应该为\(y=e^{\lambda x}\),因此设此为该齐次方程的解,那么就有 \[ \lambda^2+p\lambda+q=0 \] 称这个为特征方程,特征方程的根称为特征根

对于解的结果分三种情况讨论

\(\Delta >0\) 那么通解为\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
\(\Delta=0\) 那么特征方程有一个重根\(\lambda\) 将\(y=xe^{\lambda x}\)代入方程得 \[ (2\lambda+p)e^{\lambda x}+x(\lambda^2+p\lambda+q)e^{\lambda x}=0 \] 依旧成立所以\(y=xe^{\lambda x}\)也是原方程的一个特解,且与\(y=e^{\lambda x}\)线性无关所以通解为\(y=C_1e^{\lambda x}+C_2xe^{\lambda x}\)
\(\Delta<0\) 特征方程有一对共轭复根,\(\lambda_1=\alpha +\beta i,\lambda_2=\alpha-\beta i\).如果我们在复数域内仍然有相同的求导公式,则\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)仍然是方程的通解,取\(C_1=\frac{1}{2},C_2=\frac{1}{2}\),则得到实数域内的一个特解\(y=e^{\alpha x}cos\beta x\),取\(C_1=\frac{1}{2i},C_2=\frac{1}{-2i}\)则得到实数域内的另一个与前者线性无关的特解\(y=e^{\alpha}sin\beta x\), 所以方程的通解为\(y=C_1e^{\alpha x}cos\beta x +C_2e^{\alpha x}sin\beta x\)

二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

在求出了其对应的齐次线性微分方程的通解后,根据前面的解的结构的相关定理,我们还需解出一个原方程的特解,这里主要讨论两种特殊情形

非齐次项形如\(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}\),猜测特解形如\(y=Q(x)e^{\mu x}\),代入方程得 \[ Q''(x)+(2\mu+p)Q'(x)+(\mu^2+p\mu+q)Q(x)=P_m(x) \] 此时左右两边都是多项式,对比系数使两边相等

分三种情况

\(\mu^2+p\mu+q \neq 0\) 则\(Q(x)\)为一个m次多项式
\(\mu^2+p\mu+q = 0\)且\(2\mu+p \neq 0\)即\(\mu\)为齐次线性微分方程的特征方程的单根则令\(Q(x)=xQ_m(x)\)
\(\mu^2+p\mu+q = 0\)且\(2\mu+p = 0\)即\(\mu\)为齐次线性微分方程的特征方程的重根则令\(Q(x)=x^2Q_m(x)\)

设好特解的一般形式后代入方程中对比系数对应相等即可解出特解中多项式的各项系数,从而得到特解

根据定理,结合之前求得的通解,得到二阶非齐次线性方程的通解

非齐次项形如\(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}(\alpha cosx + \beta sinx)\)

两种方法

同前
辅助方程详见北京航空航天出版社《工科数学分析》

工科数学分析