第十三周学习心得
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本周学习了有理积分的不定积分的求解以及一些无理积分的求解,学习了一部分的定积分
有理积分的求解
有理积分有很多种
分式型有理函数积分的求解
真分式
由已知结论可知，任何有理真分式可以分解为分母为若干一次函数的次方分子为常数的分式与若干分母为二次函数的次方分子为一次函数的分式之和
对于普通一次函数为分母的分式，直接凑对数函数或幂函数的微分即可求解
对于二次函数为分母的分式，通过先凑微分将分子并入被积变量，分解为分子为分母导数的分式与分子为常数的分式
对于分子为分母导数的分式，通过凑微分法利用对数函数与幂函数的微分即可轻松求解
对于分子为常数的分式，看分母次数，如果为一次，将分母配方后利用因式分解或反三角函数的微分进行求积；如果为多次，配方后三角换元，利用三角函数分部积分的递推式进行求解
倒代换当分母次数明显高于分子时可以考虑使用倒代换
假分式
化为多项式和真分式进行求积
三角函数的分式
通解，通过万能公式把三角函数全部化为分式多项式，转化为有理分式进行求积
递归求解有些三角分式结构利用分部积分可以求得递归式，通过多次递归迭代可以求得函数积分
凑微分这个需要看技术
其他可化为有理式函数的积分
e，可以把e的指数进行换元
简单无理函数的积分
\(R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\)
这种一般令\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)进行代换求积，很多形式的根式可以通过提出一些因式转化为类似这种的形式再代换求解
\(R=(\sqrt[n]{x},\sqrt[m]{x})\)
令\(x=t^{mn}\)
\(R(x,\sqrt[n]{ax+b})\)
令\(t=\sqrt[n]{ax+b}\)
\(R=(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})\)
通过配方法转化为以下形式再通过换元法求解
\(\int R(u,\sqrt{u^{2}\pm k^{2}})\) ,\(\int R(u,\sqrt{k^{2}-u^{2}})\)
定积分
定积分的概念
定积分的几何意义
当函数值在被积区间恒为非负数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积
当函数值在被积区间上为非正数时，定积分的值为对应的曲边梯形的面积的相反数
可积条件
必要条件
有界
充要条件
达布上和和达布下和在分割细度足够小时有相同的极限
有关达布和的相关结论
引理7.2.1
分割密度增加时达布上和不增，达布下和不减
可积准则
达布上和极限与达布下和极限相等
定积分的基本性质
性质7.2.1
线性性质
性质7.2.2
积分的保序性保号性
性质7.2.3
估值不等式