第十三章 傅立叶级数
13.1 周期函数的Fourier
-
历史
傅立叶指出，任何周期函数都可以写为三角函数的级数
二、三角级数
1.三角级数
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)
2.两个函数的内积
设函数\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上可积，定义内积
\(<f(x),g(x)> =\int_a^bf(x)g(x),dx\)
定义13.1.1 正交
\(<f(x),g(x)> =\int_a^bf(x)g(x)dx =0\)
2.三角函数的正交性
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}=0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin{nx}=0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\sin{mx}=\)
三、函数的傅立叶级数
- 问题
- 若能展开\(a_n,b_n\)是什么？
- 展开的条件是什么？
1.傅立叶级数
若有\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)
定义13.1.2 傅立叶系数和傅立叶级数
设\(f(x)\)是以\(2\pi\) 为周期的函数
-
求\(a_0\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}[\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})]dx=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}dx\=a_0\pi\)
-
求\(a_n\)
\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx,n=0,1,2,\cdots\)
\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx,n=1,2,\cdots\)
2.傅立叶级数
若f是以2\pi为周期的可积或绝对可积的函数，
\(f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}\)~
定义：
定理13.1.1
若\(f(x)\)以\(\pi\)为周期，在\([-\pi,\pi]\)上分段可微，那么\(f\)的傅立叶级数在每点\(x_0\)处收敛于
\(\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}\)
-
综上
函数只要在区间上有一阶导数就能展开为傅立叶级数
13.1-2 傅立叶级数的展开
- 计算傅立叶系数
- 写出傅立叶级数
- 根据13.1.1Dini写出级数收敛情况（对于不连续点进行另外讨论）
二、正弦级数与余弦级数
1.奇函数和偶函数的傅立叶级数
- 周期为\(2\pi\)的奇函数的傅立叶级数仅含有\(sin\)项
- 周期为\(2\pi\)的偶函数仅含有\(cos\)项
2.函数展开成正弦级数或余弦级数
设\(f(x)\)定义在\([0,\pi]\)上，延拓成以\(2\pi\)为周期的函数\(F(x)\)
要有既方便又有实际收益的延拓
- 奇延拓 正弦级数
- 偶延拓 余弦级数
三、周期为\(2l\)的函数的傅立叶级数
通过换元（变量置换）和延拓将函数转变为周期为\(2\pi\)的函数，之后同理
\(\frac{\pi x}{l}=t或x=\frac{lt}{\pi}\)
可以把函数变换成以2pi为周期的t的函数
\(F(t)=f(\frac{lt}{\pi})\)
如果F(t)满足\(Dini\)定理的条件
\(F(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nt}+b_n\sin{nt})\)
换回x
\(a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}}dx\)
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin{\frac{n\pi x}{l}}})\)
13.1.1 周期为\(2\pi\)的函数的傅立叶级数
13.2 Fourier逐点收敛定理
定理13.2.1 Riemann-Lebesgue定理
若函数在区间上黎曼可积或绝对可积，则函数与\(cosnx/sinnx\)在该区间上的积分的极限为0
推论 傅立叶系数也相应极限为0
定理13.2.2
定理2 若\(f(x)\)可导，\(f’(x)\)黎曼可积或绝对可积，则有
\(a_n=o(\frac{1}{n}),b_n=o(\frac{1}{n})\)
证明：由分布积分法得
\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx=\frac{1}{\pi}[\frac{f(x)\sin{nx}}{n} \bigg\vert_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin{nx}dx]=-\frac{1}{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin{nx}dx=-\frac{1}{n}b'_n\)
又\(b'_n=o(1)\)
\(a_n=o(\frac{1}{n})\)
收敛定理
定理 Dini判别法
若\(f\)是以\(2\pi\)为周期，在\([-\pi,\pi]\)上可积或绝对可积的函数，对\(s\in R\)令
\(\theta(t)=f(x_0+t)+f(x_0-t)-2s\)
如果存在\(\delta>0\)，使得函数\(\frac{\theta(t)}{t}\)可积，则函数f的傅立叶级数在x_0处收敛
定理 若\(f\)是以\(2\pi\)为周期，在以0为中心的\(\pi\)区间上可积，在点\(x_0\)处有导数或有两侧广义单侧导数，则\(f\)的傅立叶级数在\(x_0\)处收敛，若
\(\frac{f(x_0+t)}{t}和\frac{f(x_0-t)}{t}有极限存在\)
则傅立叶级数收敛于\(\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2}\)
13.4 Fourier级数补充
本节探讨傅立叶级数的分析性质
1.傅立叶级数逐项积分定理
若函数是以2\(\pi\)为周期的可积函数，则傅立叶级数逐项可积，傅立叶级数的逐项积分一定收敛于原函数的积分，即使原函数不收敛与傅立叶级数
2.傅立叶级数逐项微分定理
3.最佳逼近
傅立叶级数的平方逼近性质
函数在以0为中心\(\pi\)为半径的区间上可积则