第12章 函数列与函数项级数
12.1 函数列与函数项级数的收敛性
12.1.1 函数项级数的逐点收敛性
设\(u_1(x),u_2(x)\cdots,u_n(x),\cdots\)都是定义在区间\(I\)上的函数，它们按照自然数顺序排列,称其为一个区间\(I\)上的函数序列，简称为函数列,记为\({u_n(x)}(n=1,2,\cdots)\).
类似于无穷级数的定义,给定区间\(I\)上的一个函数列\({u_n(x)}(n=1,2,\cdots)\)，可以写出“和式”\[ u_1(x)+u_2(x)+\dots+u_n(x)+\cdots \]将上述和式称为区间\(I\)上的一个函数项级数,记为\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\),其中\(u_n(x)\)称为函数项级数的通项或一般项.
给定区间\(I\)上的函数项级数,对任意的正整数\(n\),称 \[ S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x) \] 为级数的前\(n\)项的部分和.显然部分和序列\({S_n(x)}\)是区间\(I\)上的一个函数列.从数项级数的收敛性出发，可以给出如下函数项级数的逐点收敛性.
定义12.1.1 设\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)是区间\(I\)上的一个函数项级数.给定\(x_0\in I\),若数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)收敛,即极限\(\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0)\)存在,则称函数项级数在点\(x_0\)处收敛,或称\(x_0\)为函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的一个收敛点.若级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)发散，则称\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)在点\(x_0\)处发散，或称\(x_0\)为函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的一个发散点. 函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)的收敛点的全体构成的集合称为该级数的收敛域.
设函数项级数的收敛域为D，则通过级数和可以定义D上的一个函数 \[ S(x)=\Sigma_{n=1}^{\infty}u(x),x\in D \] 称S(x)为级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}u(x)\)的和函数.由于函数项级数的这种收敛性是逐点考虑的，因此称这种收敛性是逐点收敛性.
本章主要探讨函数项级数和函数\(S(x)\)的性质.首先要解决的问题是\(S(x)\)的定义域，实际上是求函数项级数的收敛域. 从收敛点的定义不难发现，求收敛域的问题本质上仍然是一个数项级数的敛散性的判别问题. 上一章中判断==数项级数敛散性的各种判别法==可以用于求函数项级数的收敛域.
例12.1.1 由数项级数的相关结论可知： （1）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}x^n\)的收敛域为\((-1,1)\),和函数为\(S(x)=\frac{x}{1-x}\); （2）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}e^{-nx}\)的收敛域为\((0,+\infty)\),和函数为\(S(x)=\frac{1}{e^x-1}\); （3）函数项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}\)的收敛域为\((1, +\infty)\); （4）函数项级数\(\Sigma_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(lnn)^x}\)的收敛域为\((1,+\infty)\).
12.3一致收敛函数列与一致收敛函数项级数的分析性质
定理12.3.6(极限函数的可导性) 设函数\(S_n(x)(n=1,2,\cdots)\)都是\([a,b]\)上的可导函数，且有：
- \(S_n^{'}(x)\)在\([a,b]\)上连续；
- 函数序列\({S_n^{'}(x)}\)在\([a,b]\)上一致收敛到某个\(g(x)\)；
- 存在某个\(x_0\in[a,b]\)，使得\({S_n(x_0)}\)收敛， 则