第十五章多元函数微分学

定义15.2.1 设\(f(\vec{x})\)为向量值函数，点\(\vec{x_0}=(x_1,\cdots,x_n)\in D\)。如果存在\(m\times n\)阶矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，使得对于D中\(\vec{x_0}\)附近的点\(\vec{x}=\vec{x_0}+\Delta \vec{x}\)有

\[ f(\vec{x})-f(\vec{x_0})=A\Delta{\vec{x}}+r(\Delta \vec{x}),\lim\limits{|x|}\frac{|r(\Delta\vec{x})|}{|\Delta\vec{x}|}=0 \]

则称向量值函数在给定点处可微，并称线性映射\(A\Delta\vec{x}\)为\(f(\vec{x})\)在\(\vec{x_0}\)处的微分。同样的，将\(d\vec{x}\)表示自变量的增量\(\Delta \vec{x}\)，将微分记作

\[ df(\vec{x_0})=Ad\vec{x} \]

定理15.2.1 向量值函数\(f(\vec{x})\)在点\(\vec{x_0}=(x_1,\cdots,x_n)\)可微的充分必要条件是它的分量函数

15.2.2 复合函数求导的链式法则

定理15.2.3 设开集\(E\subset R^l\),开集\(D\subset R^m\)，映射\(f:D\rightarrow R^n\)，记复合映射

15.3 高阶偏导数、中值定理及Taylor公式

15.3.1 高阶偏导数

函数\(z=f(x,y)\)的二阶偏导数为

\[ \frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{\partial f}{\partial x_i})=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j} \]

定理如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续则两个二阶混合偏导数必相等

15.3.2 中值定理

设\(\vec p,\vec q\subset R^n\)，令

\[ \sigma(t)=\vec{p}+t(\vec q - \vec p),t\in[0,1],\sigma:[0,1]\rightarrow R^n \]

的像为\(R^n\)中连接的直线段

定义15.3.1 凸区域 设\(D \subset R^n\)是区域，若连接\(D\)中任意两点的直线段都完全属于\(D\)中，则称\(D\)为凸区域

定理15.3.2 设\(D\subset R^n\)是凸区域，\(f:D\rightarrow R^n\)可微，则对\(\forall \vec{a},\vec{b}\in D\)，\(\exists \vec\xi\in D\)使得

\[ f(\vec{b})-f(\vec{a})=Jf(\vec{\xi})(\vec{b}-\vec{a}) \]

其中\(\vec{\xi}=\vec{a}+\theta(\vec{b}-\vec{a}),\theta\in(0,1),\)是连接ab的直线段上的一点

15.3.3 Taylor公式

定理15.3.4 设n,k是两个正整数，则

\[ (x_1+x_2+\cdots+x_n)^k=\sum_{\alpha_1+\cdots+\alpha_n=k}\frac{k!}{\alpha_1!\cdots\alpha_n!}x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]

其中\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)为非负整数。

设\(\vec{\alpha}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)为一个多重指标，记

\[ |\vec{\alpha}|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n,\vec{\alpha}!=\alpha_1!\cdots\alpha_n! \]

则记\(\vec{x}^{\vec{\alpha}}=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\).

将高阶偏导数记作

\[ D^{\alpha}f(\vec{x})=\frac{\partial^{|\vec{\alpha}|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}(\vec{x}) \]

定理15.3.5 设\(D \subset R^n\)是凸区域，\(f:D \rightarrow R\)具有\(m+1\)阶连续偏导数，\(\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in D\)，则任给\(\vec{x} \in D,\exists \theta \in (0,1)\)使得

\[ f(\vec{x})=\sum_{k=0}^{m} \sum_{|\vec{\alpha}|=k} \frac{D^{\vec{\alpha}}f(\vec{a})}{\vec{\alpha}!}(\vec{x}-\vec{a})^{\alpha}+R_m \]

其中

\[ R_m=\sum_{|\vec{\alpha}|=m+1}\frac{D^{\alpha}f(\vec{a}+\theta(\vec{x}-\vec{a}))}{\vec{\alpha}!}(\vec{x}-\vec{a})^{\alpha} \]

Taylor公式前三项： \[ f(\vec{a})+Jf(\vec{a})(\vec{x}-\vec{a})+\frac{1}{2}(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)\begin{bmatrix}&\frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_1^2} &\cdots & \frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_1x_n}\\&\cdots &\cdots &\cdots\\ &\frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_nx_1} &\cdots & \frac{\partial^2f(\vec{a})}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1-a_1&\\x_2-a_2&\\cdots&\\x_n-a_n&\end{pmatrix} \]

15.4 隐函数

定义隐函数是指自变量和因变量混合在一起，用方程\(F(x,y)=0\)表示y与x之间的函数关系的函数形式

隐函数定理

定理1 隐函数存在唯一性定理

若隐函数满足，函数在以一点为内点的某一区域上连续，函数在该内点函数值为0，在区域内存在连续关于y的偏导数，关于y的偏导数在该内点处不为0

定理15.4.1 设开集\(D\subset R^2,F:D\rightarrow R\)满足：

\(F(x,y)\)连续且具有连续偏导数；
在点\((x_0,y_0)\)处有\(F(x_0,y_0)=0\)；
\(F_y(x_0,y_0)\neq 0\)

则\(D\)中存在一个包含\((x_0,y_0)\)的开矩形\(I\times J\)使得

对于每一个\(x \in I = {x||x-x_0| < \alpha}\)，都存在唯一的\(y=f(x)\in J\)满足\(F(x,f(x))=0\)和\(y_0=f(x_0)\)；
函数\(y=f(x)\)在\(x\in I\)上连续；
函数\(y=f(x)\)在\(x\in I\)上具有连续的导数，且

\[ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} \]

证明:

不妨设\(F_y(x_0,y_0)>0\)。根据条件1和连续函数的局部保号性知，\(D\)中存在一个包含\((x_0,y_0)\)的开矩形\((a,b)\times (c,d)\)，使得在这一矩形中的任意点\((x,y)\)都有\(F_y(x,y)>0\)成立。

因为对给定的\(x\in (a,b)，F(x,y)\)关于y在区间\([c,d]\)严格单调递增.由条件2可得

\(F(x_0,c)<0,F(x_0,d)>0\)

在\((x_0,c),(x_0,d)\)两点根据连续函数的局部保号性知，存在\(I={x||x-x_0|<\alpha}\)，使得对\(\forall x\in I\)都有\(F(x,c)<0,F(x,d)>0\)

由连续函数零点存在定理和严格单调性知，对\(\forall x\in I\)，都存在唯一的一个数\(y\in(c,d)\)使得\(F(x,y)=0\)。显然有\(F(x_0,y_0)=0\)，记\(y=f(x),J=(c,d)\)，得结论a

下证函数的连续性

对\(\forall\overline{x}\in I,\overline{y}=f(\overline{x})\).对\(\forall \varepsilon>0\)，根据上面的分析知

\(F(\overline{x},\overline{y})=0,F(\overline{x},\overline{y}-\varepsilon)<0,F(\overline{x},\overline{y}+\varepsilon)>0\)

在点\((\overline{x},\overline{y}-\varepsilon),(\overline{x},\overline{y}+\varepsilon)\)处，根据连续函数的局部保号性知，\(\exists \delta>0,\)对\(\forall x,|x-\overline{x}|<\delta\)有\(F(x,\overline{y}-\varepsilon)<0,F(x,\overline{y}+\varepsilon)>0\)

所以当\(|x-\overline{x}|<\delta\)时，必存在唯一\(f(x)\in(\overline{y}-\varepsilon,\overline{y}+\varepsilon)\)使得\(F(x,f(x))=0\)，即\(|f(x)-f(\overline{x})|<\varepsilon\)，所以连续

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