第十四周学习心得
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本周我们学习了定积分的基本性质、求解方法以及定积分的应用场景
定积分的基本性质
线性性质
可加减可数乘，\(\int_{a}^{b} [\alpha f(x)+\beta g(x)] ,dx\) = \(\alpha \int_{a}^{b} f(x) ,dx+\beta \int_{a}^{b} g(x),dx\)
保序性保号性
- 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq 0\) ，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq 0\)
- 设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(f(x) \geq g(x)\)，则\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx \geq \int_{a}^{b} g(x) ,dx\)
估值不等式
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值M和最小值m，则\(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) ,dx \leq M(b-a)\)
乘积可积性
若\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上也可积
绝对可积性
若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上也可积，且\(|\int_{a}^{b} f(x) ,dx| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| ,dx\)
区间可加性
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则对任意的\(c \in [a,b]\) ，\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积；反过来，若\(f(x)\)在\([a,c]\)和\([c,b]\)上都可积，则在\([a,b]\)上也可积。此时有等式\(\int_{a}^{b} f(x) ,dx = \int_{a}^{c} f(x),dx+\int_{c}^{b}f(x),dx\)
Cauthy-Schwarz不等式
设\(f(x),g(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\([\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx]^2 \leq \int_{a}^{b}f^2(x),dx \int_{a}^{b}g^2(x),dx\)
可积函数类
连续可积
有限间断点有界可积
单调可积
积分中值定理
积分第一中值定理
若\(f(x),g(x)\)都在\([a,b]\)上连续，且\(g(x)\)在\([a,b]\)上不变号，则至少存在一点\(\xi \in [a,b]\) ，使得\(\int_{a}^{b}f(x)g(x),dx=f(\xi )\int_{a}^{b}g(x),dx\)
积分第二中值定理
积分第三中值定理
微积分基本定理
变上限积分函数
概念
上线为自变量的积分对应的函数
性质
函数可积，对应的变上限积分函数连续
函数连续，对应的变上限积分函数可导
即积分具有磨光性
函数连续，则对应的变上限积分函数为函数的一个原函数
牛顿莱布尼茨公式
构建了微分与积分的关系，使得微积分从此成为一门完整的学科，标志着微积分的诞生