第十四章 多元函数的极限与连续

14.1 Euclid空间的点集及基本概念

前置知识

记R为全体实数，定义集合

$R^n={(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n):x_i\in R,i=1,2,3,\cdots,n}$

称集合中的元素为向量或点

内积

$<x,y>=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$

定义了内积运算的空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间

1. （正定性）
2. （对称性）
3. （线性性）

Cauthy-Schwarz不等式 $<x,y>^2 \leq <x,x><y,y>$

定义14.1.1 对n维Euclid空间$R_n$上的任意向量x，定义

$||x||=\sqrt{<x,x>}$

为向量x的范数（2-范数）

1. 正定性
2. 数乘性
3. 三角不等式 $||x+y||<||x||+||y||$

向量x,y的夹角

$\cos{\theta(x,y)=\frac{<x,y>}{||x||||y||}}$

词向量

两向量之间的距离

$||x-y||=\sqrt{<x-y,x-y>}=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$

定义14.1.2 设$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in R^n,r>0$集合

$B_r(\vec{a})={\vec{x}\in R^n||\vec{x}-\vec{a}||<r}={\vec{x}\in R^n|\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2}<r}$

为$R^n$中以a为中心r为半径的开球

定义14.1.3 设${x_k}$是$R^n$中的一个点列，若存在给定的点$\vec{a}\in R^n$，使得对任意给定的$\epsilon > 0$，都存在正整数$K>0$，使得对任意的$k>K$都有

$||\vec{x_k}-\vec{a}||<\epsilon$

则称点列${x_k}$收敛于veca，a称为点列的极限

若对于任意分量有

$|x_i-a_i|<\epsilon$

称x按分量收敛于a

定理14.1.1 $\lim\limits_{k \to \infty}\vec{x_k}=\vec{a}$的充分必要条件是$\lim\limits_{k\to \infty}x_i=a_i(i=1,\cdots,n)$

证明：

显然有不等式

$|x_i^k-a_i|\leq||\vec{x_k}-\vec{a}||\leq\sum_{i=1}^{n}|x_i^k-a_i|,(i=1,\cdots,n)$

定义14.1.4 基本列

定理14.1.2 柯西收敛定理

点列收敛的基本条件是点列为基本列

定义14.1.5 开集和闭集

设点集中的任意一点存在以该点为球心大于0的半径的开球在点集中，则该集合为开集

一个集合的补集若为开集则该集合为闭集

性质14.1.1

有限多个开集的交为开集，任意多个开集的并为开集

有限多闭集的并仍是闭集，任意多开集的交仍是闭集

定义14.1.6

对于一个点集，对于全集中的点若存在以其为中心的开球属于点集则该点为内点，若属于补集则该点为外点，若任意开球既包含点集又包含补集中的点，则该点为边界点

定义14.1.7

若以a为中心的空心球总有点集E中的点，则a为E的聚点

E中的点若不是聚点，则是孤立点

定义14.1.8 导集和闭包

所有聚点的集合称为导集，点集和导集的并集为点集的闭包

定理14.1.3 点集为闭集当且仅当导集属于点集

定理14.1.4 集合E为闭集当且仅当E中任何收敛点列的极限仍在E中

定义14.1.9 道路连通

点集中的任意两点，存在点集中的一条连续曲线/连续映射，将两点连起来

如果一个映射的各分量映射都连续，则称该映射为连续映射，它的像为连续曲线

定义14.1.10 区域

道路连通的开集称为（开）区域，区域的闭包称为闭区域

14.2 欧几里得空间的基本定理

定理14.1.2 柯西收敛定理

定理14.2.1 闭集套定理diamE=sup直径

定理14.2.2 列紧性定理Bolzano-Weierstrass定理 有界单列必有收敛子列

定义14.2.1 开覆盖

如果全集中一组开集的并集覆盖点集则这组开集的集合为点集的一个开覆盖

如果存在有限开集覆盖点集则点集为紧致集

定理14.2.3 在欧几里得空间中的点集，下列等价

1. 点集为紧致集
2. 点集中任何无穷点列有收敛子列且极限在点集中

14.3 多元函数的极限与连续

定义14.3.1 属于n维欧几里得空间的点集，D到R的映射称为n元函数

D定义域 f（D）值域

对于定义在Ｒ2中的二元函数我们常记为f(x,y)

定义14.3.2 重极限

定义14.3.3

对于每一个固定的y不等于y0，二元函数趋向x0的极限都存在，得到一个关于y的函数，得到的函数趋向y0的极限存在，则称为函数先对x后对y的累次极限

重极限与累次极限不一样！！！

分母次方不对称重极限往往不存在

求重极限可以巧妙运用换元（三角换元（圆（涵盖任意种趋近路径

累次极限的第一个过程与重极限无关，第二个过程为重极限的一种特殊情况

定理14.3.2 若一个二元函数的二重极限和两个累次极限都存在，则必然会有三个极限相等

证明：

设$\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$，所以对$\forall \epsilon>0,\exists \delta>0$当$0<||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta$时，有

• 衍生

  如果两个累次极限存在但不相等，则重极限一定不存在

定义14.3.4 如果一个聚点，当自变量趋向聚点时的极限值就是聚点处的函数值，则函数在该聚点连续，对于孤立点，我们也约定函数在该点连续

函数在定义域上的不连续点称为间断点

如果函数在其定义域上每一点都连续，则称函数在定义域上连续，或称函数是其定义域上的连续函数

14.4 多元函数连续的性质

定义14.4.1 对任意epsilon存在delta使得当两点距离小于delta时函数值差距小于epsilon

定义14.4.2 映射将n维内某一欧几里得空间中的点映射到n维空间中另外一个欧几里得空间中的点，若当原像趋向某点时，像也无限趋向对应点的像，则该映射在对应点连续，若该映射在定义域空间中每一点都连续，则称该映射为定义域空间上的连续映射

• Thinking

  Matrix范数

定理14.4.1 一个映射是连续的的充分必要条件是映射的每一个分量都是连续函数，在相同定义域内。

定理14.4.2 对于一个映射，下列条件等价：

1. 映射是连续映射
2. 收敛点列的函数值列收敛到收敛点极限函数值
3. 开集中点的原集是开集

定理14.4.3 连续映射将紧致集映射成紧致集（有界闭集）

证明：开覆盖逆像

定理14.4.4 有限闭区间上的连续函数

1. 有界
2. 最值可取
3. 一致连续性

定理14.4.6 连续映射把道路连通的集合映射为道路连通的集合

定理14.4.7 有界闭区间上的连续函数的介值性

多元函数性质

四则运算、复合函数连续性、保号性，局部有界性